$n$ 点近似公式の作り方

$[a,b]$ 上に $n$ 個の分点 $a\le x_1<x_2<\cdots<x_n\le b$ を取り、 それらに関する $n-1$ 次補間多項式を $p_{n-1}(x)$ とする。 Lagrange の公式を用いて表わせば、

\begin{displaymath}
p_{n-1}(x)=\sum_{j=1}^n \ell_j^\ast(x)f(x_j),
\quad \ell_j^\ast(x)=\prod_{i=1,i\ne j}^n\left(\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\right).
\end{displaymath}

多項式であることから、$I(p_{n-1})$ は簡単に表現できる。

\begin{displaymath}
I(p_{n-1})=\int_a^b p_{n-1}(x) \Dx=\sum_{j=1}^n \alpha_j f(x_j),
\quad \alpha_j=\int_a^b \ell_j^\ast(x) \Dx.
\end{displaymath}

そこで、$I(f)$ の近似として $I(p_{n-1})$ を採用してみると、これは確かに (3.1) の形をしていて、

\begin{eqnarray*}
F_n(f)&=&I(f)-I_n(f)=\int_a^b \left(f(x)-p_{n-1}(x)\right) \Dx\\
&=& \int_a^b (x-x_1)\cdots (x-x_n) f[x_1,\cdots,x_n,x]\Dx.
\end{eqnarray*}

さらに $f$$[a,b]$ において $C^n$-級ならば、

\begin{displaymath}
\exists\xi=\xi(x)\in(a,b)\quad\mbox{s.t.}\quad
E_n(f)=\frac{1}{n!}
\int_a^b (x-x_1)\cdots (x-x_n)f^{(n)}(\xi(x)) \Dx.
\end{displaymath}

特に $f(x)=x^k$ ($0\le k\le n-1$) ならば $f^{(n)}(x)\equiv 0$ であるから、 $E_n(f)=0$. つまり、これは少なくとも $n-1$ 次の公式である。

桂田 祐史
2016-03-13