A.4.0.0.1 一松による説明

$$x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0$$

の二次の因数 $x^2-px-q$ を求めよう。商を $x^{n-2}+b_1 x^{n-3}+\cdots +b_{n-2}$, 剰余を $b_{n-1}x+b_n$ とおくと、

$$b_1=a_1+p,\quad b_2=a_2+p b_1+q,\quad b_{k}=a_k+p b_{k-1}+q b_{k-2}$$   $$\mbox{($k=3,4,\cdots,n-1,n$)}$$

という漸化式で $\{b_k\}$ が計算できる。次に $\{c_k\}$ を

$$c_1=b_1+p,\quad c_2=b_2+p c_1+q,\quad c_{k}=b_k+p c_{k-1}+q c_{k-2}$$   $$\mbox{($k=3,4,\cdots,n-1,n$)}$$

という漸化式で計算すると、

$$\frac{\rd b_k}{\rd p}=c_{k-1},\quad \frac{\rd b_k}{\rd q}=c_{k-2}$$

となることが示される。解くべき方程式は

$$b_{n}(p,q)=0,\quad b_{n-1}(p,q)=0$$

であるから、

$$b_n+c_{n-1}\Delta p+c_{n-2}\Delta q=0$$

$$b_{n-1}+c_{n-2}\Delta p+c_{n-3}\Delta q=0$$

$$p_{\nu+1}=p_{\nu}+\frac{b_n c_{n-3}-b_{n-1}c_{n-2}} {(c_{n-2})^2-... ...\nu+1}=q_{\nu}+\frac{b_{n-1}c_{n-1}-b_{n}c_{n-2}} {(c_{n-2})^2-c_{n-1}c_{n-3}}$$

という反復を行う。 初期値には $p_0=q_0=0$ が使われるが、これを Bairstow 法とよぶ。除法を次 数の低い方から進める変形を Hitchcock 法と呼ぶ。

一松 [13] から

「Bairstow 法は、これまで、実係数の代数方程式の複素根を、実数計算だけで 求めるのに便利な方法として、広く使われてきた。実係数なら複素根は必ず共 役複素数の対になって現れ、実2次因子の根になるからである。しかし機械的に これを使って失敗した例が多い。その多くは、Newton 法には大域的収束性が保 証されないのに、適当な初期値からいい加減に始めた場合である。 特に虚数部が小さい根 $\alpha\pm i\beta$ があると、あたかも $\alpha$ に 実根があるかのように見え、他の実根 $\gamma$ と合わせた 2 次因子 $(x-\alpha)(x-\gamma)$ の近似が計算されかねない。ある段階に進むと、 $x=\alpha$ の付近に実根がないため、分母が 0 近くなって、収束しかかった 反復列が大きく飛ぶという現象を生ずる。これを防ぐための手法もいろいろ 研究されている。筆者のささやかな経験では、根の分布を調べて十分よい 初期値から始めることにし、複素数のよい計算体系が利用できる場合には、 複素数の1変数の Newton 法を使うようにした方が無難と思う。」