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1.1 不動点定理に基づく反復法

与えられた方程式をそれと同値な

(1.1) $\displaystyle x=F(x)$

に変換してそれを解くと解釈できる方法が多い。

方程式 (1.1) の解 $ x$ のこと を $ F$ の不動点と呼び、方程式 (1.1) の 解の存在を保証する定理を不動点定理と呼ぶ。

ここでは (1.1) のタイプの方程式を不動点型の方程式 と呼ぶことにする。

適当に選んだ $ X$ の要素 $ x_0$ から漸化式

(1.2) $\displaystyle x_{k+1}=F(x_k)$   $\displaystyle \mbox{($k=0,1,2,\cdots$)}$

で定めた列 $ \{x_k\}k\in\N$ が極限 $ x_\infty\in X$ を持つことがある。 $ F$ が連続であれば $ x_\infty$ は $ F$ の不動点である (これは (1.5) において $ k\to\infty$ の極限を取れば良い)。 このことを背景に列 $ \{x_k\}_{k\in\N}$ を実際に計算して、 十分大きな番号 $ k$ に対する $ x_k$ を方程式の近似解として採用する 方法を反復法と呼ぶ。


\begin{jtheorem}[Banach の不動点定理 (縮小写像に関する不動点定理)] $(X,d)$\ は完... ...\end{displaymath}で生成される列 $\{x_k\}$\ の極限として得られる。 \end{jtheorem}

Proof. 有名なので省略する。例えば Schwartz [23] を参照せよ。$ \qedsymbol$ ARRAY(0xc97784) $ \qedsymbol$


\begin{jremark}\upshape Lipschitz 定数 $<1$\ の Lipschitz 条件を満たす写像は 縮... ...rt f'(x)\Vert\le \exists L<1$\ を満たすならば縮小写像である。 \qed \end{jremark}


\begin{jremark}[Banach の不動点定理の簡単な拡張]\upshape $F$\ そのものでなく、.. ...box{($m\in \N$)} \end{displaymath}、ヌオ「ヌシナェ、ヒト�チ、オ、譴觴盟釮任△襦\end{jremark}


\begin{jtheorem}[Brouwer の不動点定理]\upshape $D$\ を $\R^n$\ の有界閉凸集合と... ...D\to D$\ が連続とするとき、 $f$\ は少なくとも一つの不動点を持つ。 \end{jtheorem}

Proof. Zeidler [24], 増田 [16] 等を参照せよ。 $ \qedsymbol$ ARRAY(0xc979dc) $ \qedsymbol$

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Masashi Katsurada
平成21年7月9日