2.1.2.2 $3$ 次方程式

いわゆる Cardano の方法がある^2.1。 かつてはこの方法は数値計算には向かないと考えられていたが (例えば 森口 [16])、 最近では見直されているそうである (「特に $1$ 実根 $2$ 複素根を持つ 実3次方程式の標準算法として見直されてきている」 -- 一松 [13])。

まず

$$x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0$$

を

$$x+\frac{a_2}{3}=X$$

と置き換えて、

$$X^3-3 px+2q=0,\quad p=\left(\frac{a_2}{3}\right)^2-\frac{a_1}{3},\quad q=\frac{a_0}{2}-\frac{a_1 a_2}{6}+\left(\frac{a_2}{3}\right)^3$$ (2.1)

に変換する。次に

$$X=u+v,\quad u v=p$$

とすると、(2.1) は

$$u^3+v^3=-2q, \quad u^3 v^3=p^3$$

となる。ゆえに

$$t^2+2qt+p^3=0$$ (2.2)

を解けば $u^3$, $v^3$ を得る。実行すると

$$u^3,v^3=-q\pm\sqrt{q^2-p^3}.$$

ここで場合わけをする。

(I).

もし $q^2\ge p^3$ ならば、(2.2) は $2$ 実根

$$t_1=-q+\sqrt{q^2-p^3}, \quad t_2=-q-\sqrt{q^2-p^3}, \quad \omega=e^{2\pi i/3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

を持つ。その三乗根 (実数！) から

$$x_1 = {t_1}^{1/3}\omega+{t_2}^{1/3}\omega^2-\frac{a_2}{3},$$

$$x_2 = {t_1}^{1/3}\omega^2+{t_2}^{1/3}\omega-\frac{a_2}{3},$$

$$x_3 = {t_1}^{1/3}+{t_2}^{1/3}-\frac{a_2}{3}.$$

(II).

$q^2<p^3$ ならば、$t^{1/3}$ の計算には、複素数の $3$ 乗根を要する。 注意すべきは ${t_1}^{1/3} {t_2}^{1/3}=u v=p$ であるから、 ${t_1}^{1/3}$ を求める ごとに対応する ${t_2}^{1/3}$ を

$${t_2}^{1/3}=\frac{p}{{t_1}^{1/3}}$$

で定める。これらを数値計算するには極座標に直して計算すればよい。 この場合は、代数方程式は 3 実根を持つが、それは実数の四則と 累乗根だけでは求められないことが証明されている (不還元の 場合と呼ばれる)。 $\qedsymbol$

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