1.2.4 Kantorovich の定理

Newton 法の収束域、収束速度を与えるだけでなく、 解の存在そのものまで保証できる優れた定理である。

$h<1/2$ が単根の場合、$h=1/2$ が重根の場合に相当する。

またこの定理の仮定は、 精度保証付きの計算で確認可能な可能性が高いものであることに注意しよう。

Proof. 杉原・室田 [17] pp.71-75 を見よ (これは Zeidler [24] の証明を改良したものだとか)。他にも山本 [16] や、 Rall [22] に別証があるとか。 $\qedsymbol$ ARRAY(0xc98270) $\qedsymbol$

この証明を読んでみよう。それから、この定理を利用して精度保証するプログラ ムを書いてみよう。