5 高校で学んだ習慣のうち、改めて欲しいこと

記号については、あまり堅苦しいことは言いたくなくて、 比較的ルーズにやってきたのですが、 かえって学生の混乱の種になっているような気がするので、 例年よりも厳格化するつもりです。

(以下、4月最初に聞いても分からないところもあるから、 適当に選んでしゃべる。)

• 命題 $p$ の否定を $\overline{p}$ と書くこと。 この講義では $\neg p$ と書きます。 $\overline p$ と書く人も少なくないので、 $\overline p$ と書くのを禁止するのは気が引けるのですが、 その場の習慣に合わせられるようになるのも大事です。
• 集合 $A$ の補集合を $\overline A$ と書くこと。 この講義では $A^c$ と書きます。 後の授業で、 集合 $A$ に対して $\overline A$ は $A$ の閉包を表す場合が多いので、 $A$ の補集合を $\bar A$ と書くのは、 高校生の勉強の相手をするとき以外は使わないのが無難です。
• 写像というものを学び、その際に写像は関数の一般化であり、 高等学校で学ぶ関数は写像である、と言いますが、 記法については注意が必要で、高校流をやめるべきところがあります。 高校では、
  • 関数を表すために $y=x^2+2x+3$ のように、 独立変数 (この場合は $x$) 以外に、 従属変数を表す文字 (この場合は $y$) を用いて表現する
  • 定義域を省略することが多く、終域については言及すらされない
  場合が多いですが、
  $$f\colon\textcolor{red}{\mathbb{R}}\to\textcolor{blue}{\mathbb{R}},\quad f(x)=x^2+2x+3$$
  のような記法を用いましょう。 最初の $\textcolor{red}{\mathbb{R}}$ が定義域で、 後の $\textcolor{blue}{\mathbb{R}}$ が終域です。
• 演算の結合の優先順位を指定するために、 中括弧 (braces) $\{\;\}$ を用いること。 普通の括弧 $(\;)$ (parenthesis) と大括弧 $[\;]$ (brackets) で済ませること。 $\{\;\}$ は集合や列を表す場合に多用され、 特に集合を表す場合は、$\{\;\}$ のある無しは重大な違いが生じます。
  $$1\ne \{1\},\quad \emptyset\ne\{\emptyset\},\cdots$$
  この講義では、 演算の結合の優先順位を指定するために $\{\;\}$ を使うのは厳禁
• あいまいな「において」の利用。 辞書を引くと、「において」には、次のような意味があると分かります。

  (1)

  動作・作用の行われる場所や時間などを表す。

  (2)

  事物について、それに関連することを表す。

  大学の数学の教科書にも「において」, 「おける」という語句は良く出て来ます。 大抵の場合は英語の “at” に対応するもののようです。 ある特定の場所を表していて、辞書の (1) に相当するわけですね。

  ところで君達学生の書く文章を見ると、 (2) の意味の「において」と考えられる表現がかなり出て来ます。