7 7月2日 ( $\sqrt{\mbox{2次式}}$ など)

テキスト p.38 の問題2の (1), (3), (5) を解け。

(1) $I=\dsp\int\frac{\D x}{x^2-6x+13}=\int\frac{\D x}{(x-3)^2+4}$. $x-3=u$ とおくと、

$$I=\dsp\int\frac{\D u}{u^2+1}=\frac{1}{2}\tan^{-1}u+C =\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)+C.$$

(3) $I=\dsp\int\frac{\D x}{\sqrt{-x^2+4x-3}}=\int\frac{\D x} {\sqrt{1-(x-2)^2}}$. $x-2=u$ とおくと、

$$I=\dsp\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}u+C =\sin^{-1}\left(x-2\right)+C.$$

(5) $I=\dsp\int\sqrt{x^2+4x\;}\Dx=\int \sqrt{(x+2)^2-4\;}\Dx$. $x+2=2u$ とおくと、

$$I = 4\dsp\int\sqrt{u^2-1\;}\,\D u+C =4\cdot\frac{1}{2} \left(u\sqrt{u^2-1}-1\cdot\log\left\vert u+\sqrt{u^2-1}\right\vert\right)+C$$

$$= 2 \left(u\sqrt{u^2-1}-\log\left\vert u+\sqrt{u^2-1}\right\vert\right)+C$$

$$= 2\left[ \frac{x+2}{2}\sqrt{\frac{x^2+4x}{4}} -\log\left\vert \frac{x+2}{2}+\sqrt{\frac{x^2+4x}{4}} \right\vert \right]+C$$

$$= \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x}-2\log\left\vert x+2+\sqrt{x^2+4x}\right\vert+C'.$$

よくある間違い: $\log\left\vert x+2+\sqrt{x^2+4x\,}\,\right\vert$ を $\log\left\vert x+2\sqrt{x^2+4x\,}\,\right\vert$ とする人が (昔から) なぜか非常に多いです。 7月9日に問題2の (1)-(8) の略解を配ったので、参考にして下さい。