6.0.0.1 解答

(1) $\cos x$, $\sin x$ をマクローリン展開すると、

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4),\quad \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5)$$

となるので、$x\to +0$ のとき

$$\frac{1-\cos x}{x-\sin x} =\frac{\df... ...}{1+0}=\infty. \quad\therefore \lim_{x\to +0}\frac{1-\cos x}{x-\sin x}=\infty.$$

(2) 上と同様にして、$x\to 0$ のとき

$$\frac{x-\sin x}{x^3} =\frac{\dfrac{x... ...\to \frac{1}{6} \quad\therefore \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}.$$

(3) $f(x)=a^x$ とするとき、 $f^{(n)}(x)=a^x (\log a)^n$ であるから、

$$a^x=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots =1+x{\log a}+\frac{(\log a)^2}{2}x^2+\cdots =1+x\log a+O(x^2).$$

ゆえに

$$\frac{a^x-b^x}{x} = \frac{\left(1+x\log a+O(x^2)\right) -\left(1+x\log b+O(x^2)\right)}{x} =\frac{x(\log a-\log b)+O(x^2)}{x}$$

$$= \log a-\log b+O(x) \to \log a-\log b \mbox{($x\to 0$)} .$$

すなわち

$$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\log a-\log b.$$