8 7月9日 (有理関数の積分)

テキスト p.44 の問題1の (3), (5), (7), (9) を解け。

(3) $I=\dsp\int\frac{x^3+2x^2-1}{x(x-1)}\,\Dx$.
$x^3-2x^2-1=(x+3)(x^2-x)+3x-1$ であるから、 $\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x-1)}=x+3+\dfrac{3x-1}{x(x-1)}$.

$$\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}$$

を満たす定数 $A$, $B$ が存在するはずである。分母を払って

$$3x-1=A(x-1)+B x.$$

$x=1$ を代入して $2=B$. $x=0$ を代入して $-1=-A$ より $A=1$. ゆえに

$$I=\int\left(x+3+\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}\right)\D x =\frac{x^2}{2}+3 x+\log\vert x\vert+2\log\vert x-1\vert+C'$$   $$\mbox{($C'$\ は積分定数)}$$$$.$$

(5) $I=\dsp\int\frac{\D x}{x(x^2-1)}$.

$$\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x(x+1)(x-1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}$$

を満たす定数 $A$, $B$, $C$ が存在するはずである。分母を払って

$$1=A(x+1)(x-1)+B x(x-1)+C x(x+1).$$

順に $x=0$, $1$, $-1$ を代入して、$1=-A$, $1=2C$, $1=2B$ となるから、 $A=-1$, $B=1/2$, $C=1/2$ で、

$$I=\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}\right)... ...=-\log\vert x\vert+\frac{\log\vert x+1\vert}{2}+\frac{\log\vert x-1\vert}{2}+C'$$   $$\mbox{($C'$\ は積分定数)}$$$$.$$

(7) $I=\dsp\int\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}\,\D x$.

$$\frac{x+2}{x^2(x^2+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C x+D}{x^2+1}$$

を満たす定数 $A$, $B$, $C$, $D$ が存在するはずである。 分母を払って、展開すると

$$x+2 = A x(x^2+1)+B(x^2+1)+(C x+D)x^2 = A x^3 + A x +B x^2 +B +C x^3 +D x^2$$

$$= (A+C)x^3+(B+D)x^2+A x+B.$$

係数を比較して、 $A+C=0$, $B+D=0$, $A=1$, $B=2$. これから $C=-A=-1$, $D=-B=-2$. ゆえに

$$I=\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{x+2}{x^2+1}\right)\,\D x.$$

$$\int\frac{1}{x}\,\D x = \log\vert x\vert+C_1,\quad \int\frac{2}{x^2}\,\D x=2\int x^{-2}\,\Dx=2\cdot (-1)x^{-1}+C_2 =-\frac{2}{x}+C_2,$$

$$\int\frac{x}{x^2+1}\,\D x = \int\frac{\frac{1}{2}(x^2+1)'}{x^2+1}\,\D x =\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C_3, \int\frac{2}{x^2+1}\,\D x=2\tan^{-1}x+C_4$$

となるので、

$$I=\log\vert x\vert-\frac{2}{x}-\frac{1}{2}\log(x^2+1)-2\tan^{-1}x+C'.$$

(9) $I=\dsp\int\frac{x+1}{x(x^2+x+1)}\,\D x$.

$$\frac{x+1}{x(x^2+x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^2+x+1}$$

を満たす定数 $A$, $B$, $C$ が存在するはずである。分母を払って

$$x+1=A(x^2+x+1)+(B x+C)x=(A+B)x^2+(A+C)x+A.$$

係数を比較して $A+B=0$, $A+C=1$, $A=1$. これから $B=-A=-1$, $C=1-A=1-1=0$. ゆえに

$$I=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+x+1}\right)\,\D x =\log\vert x\vert-\int\frac{x}{x^2+x+1}\,\D x.$$

$x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}$ である。 $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}u$ とおくと、 $x^2+x+1=\dfrac{3}{4}(u^2+1)$, $\D x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\D u$, $x=(\sqrt{3}u-1)/2$ であるから、

$$\int\frac{x}{x^2+x+1}\,\D x = \int\frac{(\sqrt{3}u-1)/2}{\dfrac{3}{4}(u^2+1)}\cdot\frac{\sqrt{3... ...frac{\frac{1}{2}(u^2+1)'}{u^2+1}\D u -\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{u^2+1}\D u$$

$$= \frac{1}{2}\log(u^2+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}u+C'$$

$$= \frac{1}{2}\log\left(\frac{4}{3}(x^2+x+1)\right) -\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C'$$

$$= \frac{1}{2}\log\left(x^2+x+1\right)-\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C''.$$

ゆえに

$$I=\log\vert x\vert-\frac{1}{2}\log\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C'''.$$

あるいは、 $(x^2+x+1)'=2x+1$ に注目して、

$$\int\frac{x}{x^2+x+1}\,\D x = \int\left(\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{x^2+x+1}\right)\,\D x =\int\frac{\frac{1}{2}(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}\Dx -\frac{1}{2}\int\frac{\D x}{x^2+x+1}$$

$$= \frac{1}{2}\log(x^2+x+1)-\frac{1}{2}\int\frac{\Dx}{x^2+x+1},$$

$$\int\frac{\D x}{x^2+x+1} =\int\frac{1}{\frac{3(u^2+1)}{4}}\frac{\... ...tan^{-1}u+C' =\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C'$$

という手順もあるが、大同小異？。

採点の基準は、部分分数分解について理解しているか、 それから(もちろん) その後の積分の計算が正しく出来るかの二つを見る。 後で見直しがしやすいように、 計算ミスをしても中間点を稼げるように、 途中経過の要所要所をちゃんと書くこと。 例えばいきなり部分分数分解の間違えた結果だけ書いたりして、 そこから積分計算を始めたりするのは拙い。