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(1) $-x^2+4x-3=-(x^2-4x)-3=-(x-2)^2+4-3=1-(x-2)^2$ であるから、 $x-2=u$ とおくと、$\D x=\D u$ で、

$$\int\frac{d x}{\sqrt{-x^2+4x-3}} =\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2}} =\sin^{-1}u+C =\sin^{-1}(x-2)+C.\$$

(2) $x^2+4x=(x+2)^2-4$ であるから、

$$\int\sqrt{x^2+k} \D x =\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+k}+k\log\left\vert x+\sqrt{x^2+k}\right\vert\right)$$

という公式の出番である。 $x+2=u$ とおくと、 $x^2+4x=u^2-4$, $\D x=\D u$ であるから、

$$\int\sqrt{x^2+4 x} \Dx = \int\sqrt{u^2-4} \D u =\frac{1}{2} \left( u\sqrt{u^2-4}+(-4) \log\left\vert u+\sqrt{u^2-4}\right\vert \right)+C$$

$$= \frac{1}{2} \left[ (x+2)\sqrt{x^2+4x} -4\log\left\vert(x+2)+\sqrt{x^2+4x}\right\vert \right]+C.$$