2B

(1) これはもっとも簡単な例のうちの一つだから、 楽勝だと思ったのだけれど…

$$\sinh x=\dsp\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$$

(2) 微積分の入門書に $\tan x$ のマクローリン展開が載っていることは稀である。 自分でやってみると分かるが簡単にはならない。 実は一般項を Bernoulli 数という数列を用いて表すことが出来るが、 ここでは省略する。

この問題では一般項を求めることが要求されているわけではなく、 素朴な計算を行えばよい。

$f(x)=\tan x$ とおき、 $f^{(n)}(0)$ ( $n=0,1,2,3,4$) を求めよう。 地道に計算すると、

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}=(\cos x)^{-2},\quad f''(x)=(-2)(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x)=2(\cos x)^{-3}\sin x,\quad$$

$$f'''(x) =-2 \left[ (-3)(\cos x)^{-4}\cdot(-\sin x)\cdot\sin x +(\cos x)^{-3}\cdot \cos x \right] =6(\cos x)^{-4}\sin^2 x-2(\cos x)^{-2},$$

$$f^{(4)}(x) = 6\left[ (-4)(\cos x)^{-5}(-\sin x)\sin^2 x +6(\cos x)^{-4}\cdot 2\sin x\cos x \right] -2\cdot(-2)(\cos x)^{-3}(-\sin x)$$

$$= 24(\cos x)^{-5}\sin^3 x+12(\cos x)^{-3}\sin x -4(\cos x)^{-3}\sin x$$

から

$$f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=2,\quad f^{(4)}(0)=0$$

となることが分かるから、

$$\tan x=f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2 +\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+O(x^5) =x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

これから $A=0$, $B=1$, $C=0$, $D=\dfrac{1}{3}$, $E=0$.

なお、次のような工夫もある。$y=\tan x$ とおいて、

$$y'=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x=1+y^2$$

に注意して、

$$y''&= 2y y'=2y(1+y^2)=2y+2y^3,$$

$$y^{(3)} = (2+6y^2)y'=(2+6y^2)(1+y^2)=2+8y^2+6y^4,$$

$$y^{(4)} = (16y+24y^3)y' =(16y+24y^3)(1+y^2)=16y+40y^3+24y^5$$

と計算して、$x=0$ のとき $y=0$ であるから…とすると、 少し簡単になる。

(3) $x\to 0$ のとき

$$\frac{\sinh x-\tan x}{x^3} =\frac{x+\dfrac{x^3}{6}+O(x^5)-\left(x... ...}+O(x^5)\right)}{x^3} =\frac{-\dfrac{x^3}{6}+O(x^5)}{x^3} =-\frac{1}{6}+O(x^2)$$

であるから、極限値は $-\dfrac{1}{6}$.