2A

(1) これは宿題にしたことがあり、$n\ge 1$ のとき

$$f^{(n)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}.$$

この結果を ${}_\alpha\mathrm{P}_n$ と 書いた人が何人かいた。 ${}_\alpha\mathrm{P}_n$ は順列のつもりなのかもしれないが、 ここでは $\alpha$ は一般の実数であって、自然数とは限らないので、 この記号を使うのは不適当である (採点上は大目に見た)。 同じ理由で $\dfrac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$ と 書くのも間違いである。
(2) マクローリン展開の公式に (1) から分かる $f^{(n)}(0)$ を代入するだけである。

$$f(x) =\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n.$$

(3) 上の展開式で $\alpha=1/3$ の場合を使って、

$$\sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3} =1 +\frac{\dfrac{1}{3}}{\;1!\;}x +\frac... ...eft(\dfrac{1}{3}-1\right)}{2!}x^2+\cdots =1+\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^2}{9}+O(x^3)$$

となるので、$x\to 0$ のとき

$$\frac{\sqrt[3]{1+x}-(1+x/3)}{x^2}=-\frac{1}{9}+O(x)\to -\frac{1}{9}.$$