1B

(1) まず双曲線関数の定義は

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\quad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$$

導関数は (途中経過は省略して)

$$(\cosh x)'=\sinh x,\quad (\sinh x)'=\cosh x,\quad (\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2 x}.$$

$$(\cosh x)''=\cosh x,\quad (\sinh x)''=\sinh x,\quad (\tanh x)''=-\frac{2\sinh x}{\cosh^3 x}.$$

(2) まず結果は

$$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$$

$$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$$ (★)

対応する三角関数の公式とは符号が異なることがあるのに注意しない といけない。これは確かめる過程で気が付くはずのことである。 つまり (★) については、 「 $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$」 という公式を念頭に、

$$\cosh(x+y) = \frac{e^{x+y}+e^{-(x+y)}}{2},$$

$$\cosh x\cosh y = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2} =\frac{1}{4} \left(e^{x+y}+e^{x-y}e^{-x+y}+e^{-(x+y)} \right),$$

$$\sinh x\sinh y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} =\frac{1}{4} \left( e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-(x+y)} \right)$$

という式を作ってにらむと、 $-$ ではなく $+$ とした (★) が浮かぶ、というわけである。

(3) これは (2) の結果を使うだけ (やっていることは $\tan$ の加法定理の通常の導出法と同じ)。

$$\tanh(x+y) = \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x+y)} =\frac{\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh ... ...ac{\sinh y}{\cosh y}} {1+\dfrac{\sinh x}{\cosh x}\cdot\dfrac{\sinh y}{\cosh y}}$$

$$= \frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}.$$