2A

(1) $n\ge 1$ のとき

$$f^{(n)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}.$$

(2)

$$f(x) =1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n.$$

(3) $\sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3}=1+\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^2}{9}+O(x^3)$ とな るので、$x\to 0$ のとき

$$\frac{\sqrt[3]{1+x}-(1+x/3)}{x^2}=-\frac{1}{9}+O(x)\to -\frac{1}{9}.$$