2B

(1) $\sinh x=\dsp\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$. (2) $f(x)=\tan x$ とおくと、地道に計算して

$$f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=2,\quad f^{(4)}(0)=0$$

となることが分かるから、

$$\tan x=f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2 +\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+O(x^5) =x+\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

これから $A=0$, $B=1$, $C=0$, $D=\dfrac{1}{3}$, $E=0$. (3) 途中省略して $-\dfrac{1}{6}$