11.1 定義

確率密度関数が

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} \mbox{($m$ は実定数, $\sigma$ は正定数)}$$ (3)

で与えられる分布を正規分布 (normal⁹distribution, Gauss¹⁰ 分布) と呼び、 $N(m,\sigma^2)$ で表す。後で述べるように、$m$ は平均、 $\sigma^2$ は分散になっているので、「平均 $m$, 分散 $\sigma^2$ の正規 分布」と呼ぶ。

確率密度関数と言うくらいだから、もちろん

$$\int_{-\infty}^\infty f(x) \Dx=1$$   $$\mbox{(全確率は $1$)}$$

であるが、その証明には公式

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \Dx=\sqrt{\pi}$$   (確率積分とも呼ばれる公式)

が必要になり簡単ではない ($e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数ではないこと に注意)。

$$\int_{-\infty}^\infty xf(x) \Dx=m,$$ (4)

$$\int_{-\infty}^\infty (x-m)^2f(x) \Dx=\sigma^2$$ (5)

であるから、$m$ は平均 (期待値), $\sigma$ は標準偏差 (言い替えると $\sigma^2$ は分散) になっている。

特に平均 0, 分散 $1$ の正規分布 $N(0,1)$ を標準正規分布 と呼ぶ。

確率変数 $X$ が $N(m,\sigma^2)$ に従うとき、

$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$

で定義される確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。ゆえに、特に

$$P(a\leqq X\leqq b) =P\left(\frac{a-m}{\sigma}\leqq Z\leqq \frac{b-m}{\sigma}\right)$$

であるから、一般の正規分布の確率の計算は標準正規分布の確率の計算に帰着 できる。

$Z$ が正規分布に従うこと

$X$ が $N(m,\sigma^2)$ に従うことから、任意の $a$, $b$ ($a<b$) に対 して

$$P(a\leqq X\leqq b)=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\Dx$$

である。右辺の積分を簡単にするため、

$$z=\frac{x-m}{\sigma}$$

と変数変換 (置換積分) すると、

$$\D z=\frac{1}{\sigma}\D x$$   より$$\D x=\sigma\D z.$$

また

$$a\leqq x\leqq b \quad \LongIff \quad \frac{a-m}{\sigma}\leqq z\leqq \frac{b-m}{\sigma}$$

であるから

$$P(a\leqq X\leqq b) =\int_{(a-m)/\sigma}^{(b-m)/\sigma} \frac{1}... ...nt_{(a-m)/\sigma}^{(b-m)/\sigma} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}\Dz.$$

右辺の被積分関数は標準正規分布の確率密度関数である。これは

$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$

で定義される確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うことを意味している。$\qedsymbol$