C. 補足

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ が $C^1$ 級, 周期 $2\pi$ の関数のとき、

$$A_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos nx\;\Dx,\quad B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin nx\;\Dx$$

とおくと (要するに $f'$ の Fourier 係数)、部分積分などを行って

$$A_0=0,\quad a_n=-\frac{1}{n}B_n,\quad b_n=\frac{1}{n}A_n$$   ( $n\in\mathbb{N}$ )

が得られる。ただし $a_n$ , $b_n$ は $f$ の Fourier 係数とする。

ゆえに

$$S[f'](x)=\sum_{n=1}^\infty (n b_n\cos nx-n a_n\sin nx).$$

これを

$$S[f](x)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

と見比べると、項別微分が成り立っていることが分かる。