B. $g$ の Fourier 係数

g[x_]:=Sign[x]
b[n_]:=Simplify[1/Pi Integrate[g[x]Sin[n x],{x,-Pi,Pi}],Element[n,Integers]]
Table[b[n],{n,1,10}]

$g$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $\sign x$ は奇関数であるから、$a_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $\sign x\cos nx$ は奇関数であるから $[-\pi,\pi]$ で積分すると 0 )。

$\sign x\sin nx$ は偶関数で、$x>0$ では $\sin nx$ に等しいので、

$$b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\;\Dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \sign x\sin nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sin nx\;\Dx$$

$$=-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi =-\frac{2}{n\... ...$n$ が偶数)}\ \dfrac{4}{n\pi}& \text{($n$ が奇数)} \end{array} \right.$$

ゆえに

$$S[g](x)=\frac{4}{\pi} \left( \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$