2026年度 複素関数・同演習

　現象数理学科2年生以上対象。 火曜3限に複素関数 (515教室)、 水曜2限に複素関数演習 (515教室) が行われます。

連絡事項

資料

• 講義ノート(2026/10/26更新)
• シラバス (2026/9/22アクセス)
• 「現代数学への入門」 この中に教科書である神保道夫「複素関数入門」があります。 (図書館電子書籍 --- 学内ネットワークからは簡単に読めます。 学外からも共通認証システムのアカウントを利用すれば読めます。)
  明治大学で読める数学関係の電子書籍
• 「複素数とMathematica」 (HTML), (PDF) (2021/9/6) --- 書き直しが必要と分かっていますが、サボっています。
  2019年度版 (2019年度の宿題の検算をする) 20191120_complex_function.nb (ノートブック), 20191120_complex_function.pdf (PDF, 結果も含む) (2021/1/24 リンク切れ直しました。)
• 高木貞治「函数論縁起」から引用
  普通、 関数論は Cauchy が創始者というとらえられ方をすることが多いですが、 いわゆる積分定理などは Gauss も知っていた、ということだそうです。 「近世数学史談」という有名な本に載っている文章です。 これを読んでどこまで理解できるかで、 自分の関数論の理解の程度が分かります。
• 飯高茂「大学生にきちんと虚数を教えよう --- コーシーの定理を教える前に--」, (第49回公私立数学系学科懇談会の活動報告), 数学通信, Vol. 15, No. 1, pp. 46--53 (2010 年 3 月 26 日),
• 「ベクトル解析」 線積分と言うと、ベクトル解析にも登場するので、 参考資料として昔の微積分の講義ノートを載せておきます。
• 「Taylor 展開の剰余項と冪級数展開可能性」 学生に質問されて少し意外なことが分かった、という話。 どちらかというと、関数論というよりは、微積分の話題なのかも。

宿題

　ほぼ毎週1問出す予定。 原則として、翌週火曜3限の授業開始前に提出して下さい。 提出先はOh-o! Meiji 複素関数演習。 教育実習をする人は、3週分の宿題は免除します (例えば全13回として、10回提出で満点とする)。 紙に書いた場合、スマホでスキャンすることを勧めます。

• 「iPhoneやiPadで書類をスキャンする方法」 ファイルアプリを使うのが私のお勧めです。 自動シャッターをオフにするとあわてないですみます。 フィルターでグレイスケールか白黒を選ぶとファイル・サイズを抑えられます。 明るいところで撮影して、影とか作らないようにする。
• 「Google ドライブでドキュメントをスキャンする」 (Android スマホはこちらを採用すれば良いのかな。 これは私は試せないので、自分たちで頑張って下さい。)

　単純な計算問題は、講義で解説を省略する代わりに解答PDFを早めに公開します。 他の問題も、学期末が近づくと解答を公開する場合があります。

• 宿題1(問1), 解答
  フィードバック済み。 〆切は2026/10/6 13:30 →10/7 10:50までOKとしました。
• 宿題2(問2), 解答フィードバック済み。
• 宿題3(問3), 解答
  ちなみに提出されたファイルのサイズの上位3つは39MB, 28MB, 17MB. 上位10位に2組の人が多い (なぜだろう)。
• 宿題4(問4), 解答 現在フィードバック準備中です。 それで気づいたことを解答中に書き足しておきました。
• 宿題5(問5), 解答
• 宿題6(問6)

講義資料

　授業の進展は速いので (特に高校範囲がすんだ後は速い感じがして、 Cauchyの積分定理を通り過ぎた後は疾走感が出て来ます)、 やむを得ず欠席した人のため、 ノートの確認のため、講義資料を公開します。講義をした日の晩か、 翌日にアップします。

• 第1回(2026/9/22) 講義メモ ガイダンス, 複素数の定義とその性質
• 第2回(2026/9/29) 講義メモ 複素数の定義とその性質 (続き) 平方根
• 第3回(2026/9/30) 講義メモ 複素数の定義とその性質 (続き) 2次方程式, 共役複素数, 絶対値, 複素指数関数
• 第4回(2026/10/6) 講義メモ 複素数の定義とその性質 (続き) 複素指数関数 (続き), 極形式, n乗根
• 第5回(2026/10/7) 講義メモ 複素数の定義とその性質 (続き) n乗根 (続き), $\mathbb{C}$ の距離・複素数列の収束
• 第6回(2026/10/13) 講義メモ 複素関数とその極限・連続性
• 第7回(2026/10/14) 講義メモ 複素関数の微分、正則性、Cauchy-Riemann方程式
• 第8回(2026/10/20) 講義メモ Cauchy-Riemannの方程式, 正則関数が定数となる場合, 調和関数
• 第9回(2026/10/21) 講義メモ Cauchy-Riemannの方程式, 等角性, 逆関数定理, 冪級数
• 第10回(2026/10/27) 講義メモ 冪級数 (2) 収束円
• 第11回(2026/10/28) 講義メモ 冪級数 (3) 収束半径の求め方
  「宿題提出用のPDFを作る(サイズを抑えたい)」
• 第12回(2026/11/4) 講義メモ(案) 冪級数 (4) 一様収束
  

練習問題

　全部の問題の解答はありませんが、 そのうち、なるべく全部準備します(桂田の努力目標)。 解答が書いていない問題の解答を知りたい場合は気軽にリクエストして下さい (準備の優先順位をあげます)。 解答には誤植も多いと思います (見直すたびに見つかります, 正直ちょっと雑です)。 変だなと思ったら質問して下さい。 No.~6, 7 は粗いです。

• 練習問題 No. 1 複素数の四則, 実部・虚部・共役複素数, 絶対値
• 練習問題 No. 2 複素指数関数, ド・モアブルの公式と等比数列の和, 極形式・偏角, n乗根 (2項方程式)
• 練習問題 No. 3 複素関数の実部・虚部, 正則性, Cauchy-Riemann の関係式
• 練習問題 No. 4 冪級数の収束, 一様収束
• 練習問題 No. 5 冪級数の項別微分可能性、正則性、展開の一意性, 初等関数
• 練習問題 No. 6 線積分, Cauchyの積分定理・積分公式
• 練習問題 No. 7 Cauchy の積分公式から導かれる正則関数の性質, 孤立特異点と Laurent 展開, 留数, 零点と極の位数, 留数定理の定積分計算への応用 気が向いたら定積分の計算問題の解答を書くかもしれませんが (現在ほとんど書いていないということです)、 忙しいので今年度も無理かな。 講義ノートの例題を参考にして下さい。

過去問

• 2014年度期末試験
• 2015年度期末試験
• 2016年度期末試験
• 2017年度期末試験
• 2018年度期末試験
• 2019年度期末試験
• 2022年度期末試験
• 2023年度期末試験
• 2024年度期末試験