2021年度 複素関数・同演習
現象数理学科2年生以上対象。
火曜3限に複素関数 (活動制限指針レベル1では対面 (402教室)、
それ以外はオンデマンド),
水曜2限に複素関数演習(オンデマンド授業)が行われます。
連絡事項
- 期末レポート、
普段宿題を出している人は時間内に提出できたようです。
お疲れさまでした。採点終わったら解説と講評をします。
- みなさん結構論理が甘い(というか間違っている人が多い)。
結果があっていれば中間点を出すという方針で採点
(今年度は添削が出来なくて仕方がない…こちらの解説の真似をして、
意図をくみ取って欲しかったです)。
- 極形式が何か分かっていない人が少なくない。
というわけで(2),そして(4)の出来は良くない。
得点は半分くらいという人が結構いた(満点取って欲しいのだけど)。
- 細かい減点は生じてもまあまあ良く出来ている。
(1) は $z$ の関数として書けた人は少なかった。
まあそれでも良いとした。任意定数が出て来るけれど、
ちゃんと説明できない人が多数派 (任意の実数ですよ)。
(2) Cauchy-Riemann 方程式が
解を持たないことを示して欲しいが、出来なかった人が多い。
$u_x=-v_y$, $u_y=v_z$ が成り立っていれば、
Cauchy-Riemann 方程式は成り立たない？なぜ？
ちゃんと解がないことを計算して示そう (宿題でやった)。
$(x,y)\ne0$であっても、$x=0$ や $y=0$ はありうる。
それなのに $x$ や $y$ で割り算する人がいた。
- (1) は宿題で類題をだしたせいか、結果はあっていた人が多い。
でも大事な部分が真似されていない
(「$|z-5|<\sqrt[6]{2}$ ならば収束、
$|z-5|>\sqrt[6]{2}$ ならば発散」と書くのをサボる)
ので得点は半分くらいの人が多い。
この問は「収束半径とは何か？」に関わるので大事。
(2) は授業でチラッと出てきたので覚えているかどうか。
$z$ が入っていない冪級数展開があって、
最初はうっかりかと思っていたのだけど、たくさんある。
写しかなあ。全部バツにしておこう。
- 式整理して欲しいなあ。
分母が虚数のときは実数化するとか、
(減点はしなかったけど高校ならバツかなあ)。
中間点基準を作るのが面倒なので、
等価な式は満点とした (採点がとても面倒だった)。
一方収束範囲書いてなかったり間違えたり
(収束半径が $i$ とか)、
根拠がまったくなかったら減点。
- コンピューターで検算してよい、というのは前から言ってあって、
使えるようにしておかないのは、もったいないと思うけれど…
(2)で位数を2と間違える人がいて驚いた。
- 6Bは共役複素数を使う議論では解けない。
$f(z)$ が実係数でないと $\overline{f(x)}=f(x)$ とならないので。
証明の方針は授業で言ったつもり (やはりオンデマンドは無理かなあ)。
正解者がいない？
- 期末レポート課題
(Oh-o! Meiji で公開したものと同じ内容です。
提出は Oh-o! Meiji で行って下さい。)
-
「期末レポートに関する質問とその回答」
問題訂正があります。
- 1/18(火曜)の内容は先週伝えたように、
(1) 宿題13の解説と (2) 期末レポート要領、
それと(3) 質問対応です。
Zoom利用で行うが配信は教室から行う、と説明していましたが、
本日私に風邪症状が出ているので、
教室には行かずに完全オンラインで行います。
- 1/18(火曜)の授業は宿題の解説程度しか説明することがなくなる見込みです。
それもあってZoomのみで授業をおこないます (収録した動画は公開します)。
余った時間は質問対応に使います。
疑問点がある人はZoomで質問できるように準備しておくことを勧めます。
- 「複素関数の出欠について」
(PDF),
(HTML)
(2021/10/27)
- 毎週1回宿題を出します。今年度は(2020年度と同様)
オンラインで (Oh-o! Meiji レポート・システムを使って) 提出してもらい、
フィードバックもオンラインで行います。
A4サイズの PDF 形式で提出してもらいます。
「授業の提出物を PDF 形式で用意する方法 Ver. 2」
を参考にして下さい。
(こちらが読めて添削できることが大事で、
どうやってPDFにしたかとかは関係ありません。
自分がやりやすい方法でやって下さい。 やり方で評価を変えたりしません。)。
資料
宿題
ほぼ毎週1問出す予定。
原則として、翌週火曜3限の授業開始前に提出して下さい。
教育実習をする人は、3週分の宿題は免除します
(例えば全14回として、11回提出で満点とする)。
問1と問2は、解答の公開を1週遅らせ、その分締め切り1週間後までの提出を認めます。
授業中に解説してありますが、1月18日までに出来る限りの解答PDFをここに載せます。
- 問1 (2021/9/22出題, 9/28 13:30 までに提出),
toi1.tex
- 問2 (2021/9/29出題, 10/5 13:30 までに提出),
toi2.tex
- 問3 (2021/10/6出題, 10/13(水) 10:50 までに提出),
toi3.tex
- 問4 (2021/10/12出題, 10/19(火) 13:30 までに提出),
toi4.tex
- 問5 (2021/10/19出題, 10/26(火) 13:30 までに提出),
toi5.tex
- 問6 (2021/10/26出題, 11/9(火) 13:30 までに提出),
toi6.tex
- 問7 (2021/11/9出題, 11/16(火) 13:30 までに提出),
toi7.tex,
- 問8 (2021/11/16出題, 11/24(水) 10:50 までに提出),
toi8.tex
- 問9 (2021/11/30出題, 12/7(火) 13:30 までに提出),
toi9.tex
- 問10 (2021/12/7出題, 12/14(火) 13:30 までに提出),
toi10.tex
- 問11 (2021/12/14出題, 12/21(火)13:30 までに提出),
toi11.tex
- 問12 (2021/12/21出題, 1/11(火)13:30 までに提出),
toi12.tex
- 問13 (2022/1/11出題, 1/18(火)13:30 までに提出),
toi13.tex
授業
実は動画も置いてあります (mp4/C01_1new.mp4 とか)。
- 第1回授業スライドPDF,
第1回授業スライドPDF(handout),
第1回授業スライド訂正・補足
ガイダンス, 複素関数の定義と基本的な性質
- 第2回授業スライドPDF,
第2回授業スライドPDF(handout),
第2回授業スライド訂正・補足
複素数の定義、複素平面、平方根、共役複素数、絶対値
- 第3回授業スライドPDF,
第3回授業スライドPDF(handout),
第3回授業スライド訂正・補足
複素指数関数, 極形式
- 第4回授業スライドPDF,
第4回授業スライドPDF(handout),
第4回授業スライド訂正・補足
n乗根
- 第5回授業スライドPDF,
第5回授業スライドPDF(handout),
第5回授業スライド訂正・補足
n乗根(補足), 複素関数の極限・連続性
- 第6回授業スライドPDF,
第6回授業スライドPDF(handout),
第6回授業スライド訂正・補足
複素関数の微分、正則性、Cauchy-Riemann方程式
- 第7回授業スライドPDF,
第7回授業スライドPDF(handout),
第7回授業スライド訂正・補足
Cauchy-Riemann方程式 (続き) 調和関数, 等角性, 逆関数定理
- 第8回授業スライドPDF,
第8回授業スライドPDF(handout),
第8回授業スライド訂正・補足
冪級数 (1) 収束円
- 第9回授業スライドPDF,
第9回授業スライドPDF(handout),
第9回授業スライド訂正・補足
冪級数 (2) 収束半径
- 第10回授業スライドPDF,
第10回授業スライドPDF(handout),
第10授業スライド訂正・補足
冪級数 (3) 一様収束
- 第11回授業スライドPDF,
第11回授業スライドPDF(handout),
第11回授業スライド訂正・補足
冪級数 (4) 項別微分
- 第12回授業スライドPDF,
第12回授業スライドPDF(handout),
第12回授業スライド訂正・補足
冪級数 (5) 有理関数のTaylor展開, 微分方程式の冪級数解法,
冪級数による初等関数の定義, 収束円周上の収束発散
- 第13回授業スライドPDF,
第13回授業スライドPDF(handout),
第13回授業スライド訂正・補足
冪級数 (6) 収束円周上の収束発散, 対数関数と冪関数 (1)
- 第14回授業スライドPDF,
第14回授業スライドPDF(handout),
第14回授業スライド訂正・補足
対数関数と冪関数 (2)
- 第15回授業スライドPDF,
第15回授業スライドPDF(handout),
第15回授業スライド訂正・補足
対数関数と冪関数 (3), 線積分 (1)
- 第16回授業スライドPDF,
第16回授業スライドPDF(handout),
第16回授業スライド訂正・補足
線積分 (2)
- 第17回授業スライドPDF,
第17回授業スライドPDF(handout),
第17回授業スライド訂正・補足
Cauchyの積分定理 (1)
- 第18回授業スライドPDF,
第18回授業スライドPDF(handout),
第18回授業スライド訂正・補足
Cauchyの積分定理 (2)
- 第19回授業スライドPDF,
第19回授業スライドPDF(handout),
第19回授業スライド訂正・補足
Cauchyの積分定理 (3), 円盤領域におけるCauchyの積分公式 (1)
- 第20回授業スライドPDF,
第20回授業スライドPDF(handout),
第20回授業スライド訂正・補足
円盤領域におけるCauchyの積分公式 (2), 正則関数の冪級数展開
- 第21回授業スライドPDF, 第21回授業スライドPDF(handout),
第21回授業スライド訂正・補足
Greenの定理, 正則関数の性質 (零点の位数, 一致の定理)
- 第22回授業スライドPDF, 第22回授業スライドPDF(handout),
第22回授業スライド訂正・補足
一致の定理(2), Laurent展開
- 第23回授業スライドPDF, 第23回授業スライドPDF(handout),
第23回授業スライド訂正・補足
孤立特異点
- 第24回授業スライドPDF, 第24回授業スライドPDF(handout),
第24回授業スライド訂正・補足
留数の計算
- 第25回授業スライドPDF, 第25回授業スライドPDF(handout),
第25回授業スライド訂正・補足
留数定理
- 第26回授業スライドPDF, 第26回授業スライドPDF(handout),
第26回授業スライド訂正・補足
定積分計算への留数の応用
- 第27回授業スライドPDF, 第27回授業スライドPDF(handout),
第27回授業スライド訂正・補足
説明し残っている有名定理
- 第28回授業スライドPDF, 第28回授業スライドPDF(handout),
第28回授業スライド訂正・補足
宿題13の解説と期末レポート要領
練習問題
全部の問題の解答はありませんが、
そのうち、なるべく全部準備します(努力目標)。
解答が書いていない問題の解答を知りたい場合は気軽にリクエストして下さい
(準備の優先順位をあげます)。
解答には誤植も多いと思います (見直すたびに見つかります, 正直ちょっと雑です)。
変だなと思ったら質問して下さい。
No.~6, 7 は粗いです。
過去問
katurada＠meiji.ac.jp （←の＠は漢字なのでASCIIの@に置き換えてください）
Last modified: Tue Sep 20 11:34:52 2022