0.0.0.2 2.

$a$, $b$, $c$ を正の定数とするとき、

$$\Omega=\left\{(x,y,z);\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\le 1 \right\}$$

とおく。この体積を求めるために

$$\frac{x}{a}=r\sin\theta\cos\phi,\quad \frac{y}{b}=r\sin\theta\sin\phi,\quad \frac{z}{c}=r\cos\theta$$

という変数変換を行う。

(1) ヤコビアン $\dfrac{\rd(x,y,z)}{\rd(r,\theta,\phi)}$ を求めよ。 (2) $\Omega$ の体積を求めよ。 (3) 次の各集合に対応する $r$, $\theta$, $\phi$ の範囲を求めよ。 $\Omega_1=\{(x,y,z)\in\Omega; z\ge 0\}$, $\Omega_2=\{(x,y,z)\in\Omega; y\ge 0\}$, $\Omega_3=\{(x,y,z)\in\Omega; x\ge 0\}$, $\Omega_4=\{(x,y,z)\in\Omega; x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\}$.