6.2.1 その重要性の説明

Laplace方程式の境界値問題 (6.1b), (6.1b) を少し一般化する。

$\Omega$ は $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$) の領域、 その境界 $\Gamma:=\rd\Omega$ は

$$\Gamma=\Gamma_1\cup\Gamma_2,\quad \Gamma_1\cap\Gamma_2=\emptyset$$

と分割されていて、 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$, $g_1\colon\Gamma_1\to\mathbb{R}$, $g_2\colon\Gamma_2\to\mathbb{R}$ が与えられたとする。 また $\bm{n}$ は、$\Gamma_2$ 上の点における外向き単位法線ベクトルとする。

このとき $u\colon\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ で、 次の方程式を満たすものを求めることを考える。

(6.2a) は有名な偏微分方程式で、 Poissonポアソン方程式と呼ばれる。

(6.7b), (6.2c) はそれぞれ Dirichletディリクレ境界条件, Neumannノイマン境界条件と呼ばれる。

Poisson方程式は、楕円型偏微分方程式の典型例であり、 様々な現象のモデルに登場する。

重力場

    $f$は(質量分布の)密度, $\phi$ はポテンシャル・エネルギー

静電場

    $f$ は電荷密度, $\phi$ は電位

熱平衡

    $f$ が発生する熱量, $\phi$ は温度

この問題は数学的に非常に詳しく研究されてきた。 一般に解の存在が証明できたのは20世紀に入ってからである。

その中でも $f=0$ の場合 (Laplace方程式 $\Laplacian u=0$) がとりわけ重要である。 ポテンシャル問題と呼ばれる。 これは関数論においても、多くの基本的な結果を得るための基礎となる (調和関数を決定する問題が解ける)。

ポテンシャル問題には、 差分法 (FDM, finite difference method)、 有限要素法 (FEM, finite element method) をはじめとする多くの数値解法が適用できる。 特に Laplace 方程式の場合は、 基本解の方法 (method of fundamental solution) が有効である。