B..3.2 差分方程式(連立1次方程式) の行列、ベクトル表現

簡単のため、同次 Dirichlet 境界条件 ( $g_1\equiv 0$) の場合に説明する。

$$\bm{U} =\begin{pmatrix} U_{11} \\ U_{21} \\ \vdots \\ U_{... ... \\ f(x_{2},y_{N_y-1}) \\ \vdots \\ f(x_{N_x-1},y_{N_y-1}) \end{pmatrix}$$

とおくと、差分方程式から次のような連立１次方程式が得られる:

$$A\bm{U}=\bm{F},$$

$$A:= \left( I_{N_y-1}\otimes \frac{1}{h_x^2} (2I_{N_x-1}-J_{N_x-1}) + \frac{1}{h_y^2} (2I_{N_y-1}-J_{N_y-1})\otimes I_{N_x-1} \right).$$ (B.16)

ここで $\otimes$ は行列のテンソル積を表す記号であり、 $I_k$ は $k$ 次の単位行列、 $J_k$ は次の形の $k$ 次正方行列であるとする。

$$J_k= \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & \bigzerou \\ 1 & 0 & 1 & ... ...& \ddots & \ddots \\ & & 1 & 0 & 1\\ \bigzerol & & & 1 & 0 \end{pmatrix},$$

(詳しくは桂田 [5] を見よ。)

プログラムを書くときのために、$\bm{U}$, $\bm{F}$ の成分 $U_\ell$, $F_\ell$ を式で表しておく。

$$U_\ell=U_{i,j},\quad F_\ell=f(x_i,y_j),$$ (B.17)

$$\ell=i+(j-1)(N_x-1).$$ (B.18)

つまり、領域内部の格子点 $(x_i,y_j)$ を1次元的に並べて番号をつけた ⁸、 ということである。 並べ方は一通りではなく、(B.18) の代わりに

$$\ell=j+(i-1)(N_y-1)$$ (B.19)

というものも良く使われる。 (B.18) を row first, (B.19) を column first と呼んで区別する。 次に紹介する MATLAB プログラムでは、 (B.18) を採用してある。