4.1 考え方

$\displaystyle I=\int_a^b f(x)\;\Dx
$

を計算したい。

(23) $\displaystyle \varphi\colon\mathbb{R}\to(a,b),\quad \lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=a,\quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=b$

を満たす $ \varphi$ を取って、 $ x=\varphi(t)$ と変数変換すると

(24) $\displaystyle I=\int_{-\infty}^\infty f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\;\D t.$

$ h>0$, $ N\in\mathbb{N}$ をとって、 (25) に対する台形公式

(25)   $\displaystyle I_{h}=h\sum_{n=-\infty}^\infty f\left(\varphi(nh\right)\varphi'(nh),$
(26)   $\displaystyle I_{h,N}=h\sum_{n=-N}^N f\left(\varphi(nh\right)\varphi'(nh)$

を考える。

どのような $ \varphi$ を選べば良いか。高橋・森は

(27) $\displaystyle f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\sim C\exp\left(-C' e^{\vert t\vert}\right)$

のようになる $ \varphi$ が良いと論じ、 $ \varphi$ の具体例を与えた (高橋・森 [2], [3], [4], [5])。 また、(38) を満たす変数変換を 二重指数関数型変数変換と呼んだ。



桂田 祐史