2.2.1.1 (P) の解が (W) を満たすこと

$u$ が (P) を満たすとする。 任意の $v\in X$ を (2.5) にかけて、$[0,1]$ で積分し、 部分積分すると、

$$-\left[u'(x)v(x)\right]_0^1+\int_0^1 u'(x)v'(x)\;\Dx= \int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx.$$

$X$ の定義から $v(0)=0$ , また (2.3) が成り立つので、

$$\left[u'(x)v(x)\right]_{0}^1=u'(1)v(1)-u'(0)v(0)=\beta v(1).$$

ゆえに

$$\int_0^1 u'(x)v'(x)\;\Dx=\int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx+\beta v(1).$$

すなわち $u$ は問題 (W) の解である。 $\qedsymbol$

次に変分問題³(variational problem) にしたものを述べる。

問題 (V)

$X_{g_1}$ に属する $u$ で $J$ を最小にするもの、すなわち

$$J[u]=\inf_{w\in X_{g_1}} J[w]$$   ($\inf$ は結局は $\min$ と書いても良い)

を満たすものを求めよ。ただし

$$J[u]:=\frac{1}{2}\int_0^1 \left\vert u'(x)\right\vert^2\Dx- \int_0^1 f(x)v(x)\;\Dx-\beta v(1).$$

$J$ が汎関数であることに注意しよう。

(W) と (V) は同値な問題であり、 常に一意的な解を持つことが比較的容易に分かる。

逆に $f$ がある程度滑らかであれば、 (W), (V) の解は (P) の解であることが示される。

問題 (V) の解 (それは (W) の解でもある) が$C^2$ 級であることを認めると、 (P), (W), (V) は互いに同値な問題ということになる。 (W) $\THEN$ (P) は、Dirichlet 原理の一般化である (Laplace 方程式のDirichlet境界値問題の場合、 この $J$ は Dirichlet 積分 (の$1/2$ 倍) に他ならない。)。

そこで問題 (P) を解く代わりに、(W) あるいは (V) を解くことを目指す。

通常、変分法は、変分問題を解くために、それと同値な微分方程式の問題を導き、 そちらを解くことで変分問題の解を得るのが普通であるが、 ここでは逆に微分方程式の問題を解くために、それを変分問題に書き換え、 それを直接解く、という手順の議論をしている。 これは、変分法の直接法と呼ばれるものになっている。