2.2.1 1次元の場合の弱解の方法

簡単のため、まず1次元版で論じる (多次元でも本質的な違いはない)。

我々の目標は次の問題の解を求めることである。

問題 (P)

$$-u''(x)=f(x) x\in (0,1) ,$$ (2.1)

$$u(0)=\alpha,$$ (2.2)

$$u'(1)=\beta$$ (2.3)

解を求めるために問題の言い換えをする。

この境界値問題 (P) の解は、以下に説明する問題 (W), (V) の解でもある。

まず弱定式化 (weak formulation) した問題 (W) を述べよう。

そのために記号 $X_{g_1}$ , $X$ を導入する。

$$X:=\left\{v\in H^1(0,1)\mid v(0)=0\right\}, \quad X_{g_1}:=\left\{v\in H^1(0,1)\mid v(0)=\alpha\right\}.$$ (2.4)

(ただし $H^1(0,1)$ は $1$ 階のSobolev空間である。 おそらく多くの人が「初耳」だとも思う。 一応説明しておくと、 超関数の意味で1階微分可能で、 その導関数がLebesgue積分の意味で自乗可積分であるような関数全体の集合である -- ちんぷんかんぷんかもしれないが、とりあえず気にしないで進もう)。 次の2つが大事である。

(a)

$X$ と $X_{g_1}$ はともに関数の集合である。

(b)

$X$ と $X_{g_1}$ に属する関数 $v$ は、 境界条件としてそれぞれ $v(0)=0$ , $v(0)=\alpha$ を満たす。

問題 (W)

$X_{g_1}$ に属する $u$ で

$$\int_0^1 u'(x)v'(x)\Dx=\int_0^1 f(x)v(x)\Dx+\beta v(1) v\in X$$ (2.5)

を満たすものを求めよ。

(2.5) が問題 (W) における「方程式」と呼ぶべきものであるが、 これを弱形式 (weak form) と呼ぶ。 問題 (W) の解 $u\in X_{g_1}$ を元の問題の弱解 (weak solution) と呼ぶ。