5.3 近似等角写像を求めるための天野の方法

天野要は、 §4.4 で述べた 等角写像の求め方と、基本解の方法を組み合わせた、 効率的なアルゴリズムを提唱した ([8])。 それを解説する。

§4.4 で導入した記号を用いる。

$ u$ の近似 $ u^{(N)}$ を基本解の方法で求めよう。 $ N\in\mathbb{N}$ に対して、 $ \{\zeta_k\}_{k=1}^N$ を 「$ \Omega $ を取り囲むように」 $ \mathbb{C}\setminus\overline
{\Omega}$ から選び、

(5.2) $\displaystyle u^{(N)}(z):=\sum_{k=1}^N Q_k \log\left\vert z-\zeta_k\right\vert$

とおく。ここで $ Q_k$ は未知の実定数である ( $ k=1,\dots,N$ )。 $ \{z_j\}_{j=1}^N$ $ \rd\Omega$ から選び、 collocation equation

(5.3) $\displaystyle u^{(N)}(z_j)=-\log\left\vert z_j-z_0\right\vert$   ( $ j=1,\dots,N$ )

$ \{Q_k\}$ を定める。

天下りになるが、

(5.4) $\displaystyle f^{(N)}(z):=Q_0+\sum_{k=1}^N Q_k\Log\frac{z-\zeta_k}{z_0-\zeta_k}, \quad Q_0:=\sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z_0-\zeta_k\right\vert$

とおく。ここで $ \Log$ は主値を表すとする ( $ \mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ を定義域とする)。

$\displaystyle \MyRe f^{(N)}(z)=
\sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z_0-\zeta_k\rig...
...ight\vert
= \sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z-\zeta_k\right\vert
= u^{(N)}(z)
$

であり、

$\displaystyle f^{(N)}(z_0)= Q_0+
\sum_{k=1}^N Q_k\Log\frac{z_0-\zeta_k}{z_0-\zeta_k}
=Q_0+\sum_{k=1}^N 0=Q_0\in\mathbb{R}.
$

言い換えると $ \MyIm f^{(N)}(z_0)=0$ . この $ f^{(N)}$ は、$ f=u+i v$ の良い近似であると考えられる。

天野のアルゴリズム
(1)
(5.2), (5.3) で $ \{Q_k\}$ を定める。
(2)
(5.4) で $ f^{(N)}$ を定める。
(3)
$ \varphi^{(N)}(z):=(z-z_0)\exp
f^{(N)}(z)$ で定義される $ \varphi^{(N)}$ を、 等角写像 $ \varphi\colon\Omega\to D_1$ の近似として採用する。

桂田 祐史
2018-06-18