5.2 基本解の方法

簡単のため、 $\Gamma_N=\emptyset$ の場合の Laplace 方程式の境界値問題

$$\Laplacian u(x)=0 x\in \Omega ,$$

$$u(x)=g_1(x) x\in\Gamma_D=\rd\Omega$$

を取り上げる。

$\Omega$ が滑らかな境界を持つ有界領域の場合に、 この境界値問題が一意的な解を持つことは知られている。

$\Omega$ が (円盤とか、長方形とか) 特別な形をしている場合に、 解 $u$ を求める公式はいくつか知られているが、 ここでは多くの場合に使える数値解法を紹介する。 一見素朴であるが、多くの場合に良好な近似解を得ることが出来る。

$\Omega$ の外部に$\Omega$ を「囲むように」点 $\{y_k\}_{k=1}^N$ を取り、

$$u^{(N)}(x)=\sum_{k=1}^N Q_k E(x-y_k)$$

とおく (もちろん、$E$ は Laplacian の基本解である)。 ここで $Q_1,Q_2,\dots,Q_N$ は未定係数である。これらが何であっても

$$\Laplacian u^{(N)}(x)=0$$   ( $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{y_1,y_2,\dots,y_N\}$ )

が成り立つ。 もし $u^{(N)}(x)=g_1(x)$ ( $x\in\rd\Omega$ ) が成り立てば $u^{(N)}$ は解である。さすがにそんな都合の良いことはめったにおこらないが、 多くの場合、境界 $\rd\Omega$ 上で選んだ点 $x_1,\dots,x_N$ に対して

$$u^{(N)}(x_j)=g_1(x_j)$$   ( $j=1,2,\cdots,N$ )

を満たすように $Q_k$ を決めることが出来る。このとき

$$u^{(N)}\kinji u$$

が成り立つことが期待できる。この近似解法を、 the method of fundamental solutions (基本解の方法, fundamental solution method), あるいは代用電荷法 (charge simulation method) と呼ぶ⁷。

次のような利点がある。

• しばしば誤差の指数関数的減少
  $$(\exists C\in\mathbb{R})(\exists \rho\in(0,1))(\forall N\in\mathbb{N}) \quad \left\Vert u-u^{(N)}\right\Vert\le C \rho^N$$
  が成り立つ (この場合は、差分法や有限要素法と比較して、 高精度の解が少ない計算量で得られる)。
• $u^{(N)}$ 自身が調和関数であり、特に
  $$\grad u^{(N)}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -\dsp\frac{1}{2\pi... ...ft\vert x-y_j\right\vert^3} &\text{($3$次元の場合)} \end{array} \right.$$
  のように $\grad$ が直接計算できる (ポテンシャルの $\grad$ が必要な場合が多いので、非常に便利である)。

基本解の方法以外に、基本解を利用する方法として、 境界要素法 (boundary element method, BEM) がある。