2.2.3 2次元の場合の弱解の方法

部分積分を、その一般化である Green の積分公式に置き換えるだけで、 後は1次元とほぼ同様の議論が可能である。 その結果、次のような弱形式が得られる。

2次元版 問題 (W)

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$\int_\Omega \grad u\cdot\grad v\;\Dx =\int_\Omega f v\;\Dx+\int_{\Gamma_2}g_2 v\;\D s v\in X .$$ (2.6)

ここで

$$X_{g_1}:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=g_1\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\},$$

$$X:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=0\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\}.$$

Greenの積分公式

$$\int_{\Omega}\Laplacian u\; v\;\D\bm{x} =\int_{\rd\Omega}\frac{\rd u}{\rd\bm{n}}v\;\D s -\int_{\Omega}\grad u\cdot\grad v\;\D\bm{x}.$$ (2.7)

(1次元の場合の、 $\dsp\int_0^1 u''(x)v(x)\;\Dx=\left[u'(x)v(x)\right]_0^1 -\int_0^1 u'(x)v'(x)\;\Dx$ に相当する。)

念のため:

$$\grad u=\nabla u=\begin{pmatrix}u_x u_y \end{pmatrix},\quad \... ...cdot\grad v=u_x v_x+u_y v_y,\quad \frac{\rd u}{\rd\bm{n}}=\grad u\cdot\bm{n}.$$

$\bm{n}$ は境界 $\rd\Omega$ 上の点における、 外向き単位法線ベクトルである。