4.2 Poisson 方程式の境界値問題とそれに対する弱形式

$\Omega$ を $\mathbb{R}^2$ の有界な領域、 その境界 $\rd\Omega$ が $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ に分かれているとする。

$$\rd\Omega=\Gamma_1\cup\Gamma_2,\quad \Gamma_1\cap\Gamma_2=\emptyset.$$

また領域 $\Omega$ の境界 $\rd\Omega$ 上の点における 外向きの単位法線ベクトルを $n$ とする。

$f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ , $g_1\colon\Gamma_1\to\mathbb{R}$ , $g_2\colon\Gamma_2\to\mathbb{R}$ が与えられたとき、

$$-\Laplacian u=f \Omega$$ (3)

$$u=g_1 \Gamma_1$$ (4)

$$\frac{\rd u}{\rd n}=g_2 \Gamma_2$$ (5)

を満たす $u$ を求めよ、というのが Poisson 方程式の境界値問題である。

注: $\dsp\frac{\rd u}{\rd n}(\bm{x}) =\lim_{h\to -0}\frac{u(\bm{x}+h n)-u(\bm{x})}{h} =\nabla u(\bm{x})\cdot n$ .

この問題は、次のように変形できる (弱定式化, weak formulation)。

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\D\bm{x} =\int_\Omega f v\;\D\bm{x}+\int_{\Gamma_2}g_2 v\;\D s v\in X .$$ (6)

ここで

$$X_{g_1}:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=g_1\quad\text{on $\Gamma_1... ..., \quad X:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=0\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\}.$$

(念のため: $\nabla u\cdot\nabla v=\grad u\cdot\grad v=u_x v_x+u_y v_y$ .)

条件 (6) を弱形式と呼ぶ。 適当な条件のもとで、 弱形式を満たす $u\in X_{g_1}$ は一意に定まり、 それがもとの問題の解となる。 弱形式を満たす $u$ を求めることでもとの問題を解く方法を 弱解の方法と呼ぶ。 (そのルーツとして有名なのは、 Riemann による写像定理の、Dirichlet の原理を用いた証明である -- 後日説明する。)