2.2.2 湧き出し、吸い込み

$m\in\mathbb{R}$ , $f(z)=m\log z$ (多価関数！) の場合、 $z=re^{i\theta}$ とすると、

$$u-iv=f'=\frac{m}{z}=\frac{m}{r}\left(\cos\theta-i\sin\theta\right).$$

すなわち

$$\bm{v}=\begin{pmatrix}u v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{m}{r}\cos\theta [1.5ex] \dfrac{m}{r}\sin\theta \end{pmatrix}.$$

速度ポテンシャルと流れ関数は

$$\left\{ \begin{array}{ll} \phi=m\log r\\ \psi=m\theta \end{array} \right.$$

原点の周りを一周する任意の閉曲線 $C$ を取ると、 $C$ から外に湧き出る流量は

$$\int_C \bm{v}\cdot\bm{n}\D s =\int_C\D\psi =\MyIm\int_C \D f =\MyIm\int_C f'(z)\D z =\MyIm\int_C \frac{m}{z}\D z =2\pi m.$$

(既に見たように、 $\bm{n}\;\D s=\begin{pmatrix}-\D y \Dx\end{pmatrix}$ であり、 $\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s=-v\Dx+u\Dy=\psi_x\Dx+\psi_y\Dy =\D\psi$ である。)

$m>0$ ならば原点から湧き出す流れ、 $m<0$ ならば原点に吸い込まれる流れ、を表す。

図 2: 湧き出し

これは $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ で渦なしの流れである。