2.3 渦糸

$\kappa\in\mathbb{R}$ , $f(z)=i\kappa\log z$ の場合、 $z=re^{i\theta}$ とすると、

$$u-iv=f'=\frac{i\kappa}{z} =\frac{\kappa}{r} i\left(\cos\theta-i\sin\theta\right) =\frac{\kappa}{r}\left(\sin\theta+i\cos\theta\right).$$

すなわち

$$\bm{v}=\begin{pmatrix}u v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{... ...}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix}.$$

速度ポテンシャルと流れ関数は

$$\left\{ \begin{array}{ll} \phi=-\kappa\theta\\ \psi=\kappa r \end{array} \right.$$

流線は原点を中心とする円で、 等ポテンシャル線は原点を端点とする半直線である。

図 3: 渦糸