4.5 (3), (4) を基本解の方法で解く

(この項は書きかけです。)

写像関数 $f\colon\Omega\to D_1$ を求めるための、境界値問題

$$\Laplacian u=0 \Omega$$ (再3)

$$u(z)=-\log\vert z-z_0\vert \rd\Omega$$ (再4)

を基本解の方法 (FSM) で解いてみよう。

$\Omega$ の外部に $N$ 個の点 $\zeta_1$ , $\dots$ , $\zeta_N$ を取り、

$$u^{(N)}(z):=\sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z-\zeta_k\right\vert$$

とおく。ここで $Q_k$ ( $k=1,\dots,N$ ) は未知の実定数である。 一方、$\rd\Omega$ から $z_1$ , $\cdots$ , $z_N$ を選び、

$$u^{(N)}(z_j)=-\log\vert z_j-z_0\vert$$   ( $j=1,\cdots,N$ )

で $Q_j$ を定める。具体的には連立1次方程式

$$\begin{pmatrix} \log\vert z_1-\zeta_1\vert & \log\vert z_1-\zeta... ... -\log\vert z_2-z_0\vert \\ \vdots\\ -\log\vert z_N-z_0\vert \end{pmatrix}$$

を解けばよい。

$\Omega$ を $D_1$ に写す等角写像を求めてみよう。 実部が $u^{(N)}$ と一致する正則関数 $f^{(N)}$ が求まれば、

$$\phi^{(N)}(z)=(z-z_0)\exp f^{(N)}(z)$$

が等角写像の近似になることが期待できる。

簡単のため、$\Omega$ は $z_0$ に関して星型であるとする。 このとき

$$f^{(N)}(z):=Q_0+\sum_{k=1}^N Q_k\Log\frac{z-\zeta_k}{z_0-\zeta_k},\quad Q_0:=\sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z_0-\zeta_k\right\vert$$

は実部が $u^{(N)}$ に等しい正則関数である。 $\Log$ を使っているが、$\Omega$ 全体で一価正則な関数になっている。