4.1 この講義に現れた境界値問題

1つは速度ポテンシャルに対する Neumann 境界値問題で、

$$\Laplacian\phi=0 \Omega$$ (1)

$$\frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=\bm{v}\cdot\bm{n} \rd\Omega$$ (2)

というもの。この場合は、 $\Gamma_1=\emptyset$ , $\Gamma_2=\rd\Omega$ , $f=0$ , $g_2=\bm{v}\cdot\bm{n}$ とすれば良い。

もう1つは、 領域 $\Omega$ の写像関数 $f\colon\Omega\to D_1$ を求めるための Dirichlet 境界値問題で、

$$\Laplacian u=0 \Omega$$ (3)

$$u(z)=-\log\left\vert z-z_0\right\vert z\in\rd\Omega .$$ (4)

ただし $z_0$ は $\Omega$ から選んだ任意の1点である。 この $u$ の1つの共役調和関数を $v$ として、

$$f(z)=(z-z_0)\exp\left(u(z)+i v(z)\right)$$

で $f$ が得られる。