3.4.2.2 $\lambda =1$以外の時の数値解析

（b） $0<\lambda<1$の時

$$E_{j+1}<E_{j}$$

が予想される。そこで、縦軸にエネルギー$E_{j}$の底$10$の対数 $y=\log_{10}{E_{j}}$を取り、
横軸に$t=j\tau$としたグラフは、図５である。

図 3.5: $N=100$, $\lambda =0.5$, $t=100$まで

$t=0$に近いところは誤差として、このグラフは直線である。その傾きを計算する。
適当に選んだ$2$点($t$, $y$)=($17.425$, $-1.999971$)=($95.170000$, $-6.999750$) から傾きを求めると、

   傾き$$=\dsp\frac{(-6.999750) - (-1.999971)}{(95.170000)-(17.425)} =-0.064310$$

となる。よって、グラフの直線部を延長し$t=0$の$y$の値を$C$とすると、 $E_{j}$と$j\tau$の関係は、

$$y = -0.06431t+C$$

$$\log_{10}{E_{j}} = -0.06431(j\tau)+C$$

$$E_{j} = C'・10^{-0.06431(j\tau)}\qquad (C'=10^{C})$$

$$E_{j} = \dsp\frac{C'}{10^{0.06431(j\tau)}}\qquad ( \mbox{$j$が大きいところ} )$$

$j$が大きいとき$E_{j+1}$と$E_{j}$の比を取ると、

$$\dsp\frac{E_{j+1}}{E_{j}} = \dsp\frac{\dsp\frac{C'}{10^{0.06431(j+1)\tau}}} {\dsp\frac{C'}{10^{0.06431(j\tau)}}}$$

$$= \dsp\frac{1}{10^{0.06431\tau}}$$

よって、$E_{j}$は、公比 $\dsp\frac{1}{10^{0.06431\tau}}$の等比数列である。 $N=100$、 $\lambda =0.5$の時、 $\tau=0.005$になり、公比の値を計算すると、 公比が$0.99926<1$となり、

$$\lim_{j→\infty}E_{j}=0$$

となる。つまり、時間が経つにつれ$E_{j}$は 0 に近づき無限時間経つと 0 になる。

（c）$\lambda>1$の時

$$E_{j+1}>E_{j}$$

が予想される。そこで、縦軸にエネルギー$E_{j}$の底$10$の対数 $y=\log_{10}{E_{j}}$を取り、
横軸に$t=j\tau$としたグラフは、図６のものである。

図 3.6: $N=100$, $\lambda =1.01$, $t=100$まで

$t=0$に近いところは誤差として、このグラフは直線である。その傾きを計算する。
適当に選んだ$2$点($t$, $y$)=($36.289300$, $29.995966$) =($94.970300$, $79.999598$)から傾きを求めると、

   傾き$$=\dsp\frac{79.999598 - 29.995966}{94.970300-36.289300} =0.852126$$

よって、直線のグラフを延長し$t=0$の$y$の値を$C$とすると $E_{j}$と$j\tau$の関係は、

$$y = 0.852126t+C$$

$$\log_{10}{E_{j}} = 0.852126(j\tau)+C$$

$$E_{j} = C'・10^{0.852126(j\tau)} \qquad(C'=10^{C}, \mbox{$j$が大きいところ} )$$

$j$が大きいとき$E_{j+1}$と$E_{j}$の比を取ると、

$$\dsp\frac{E_{j+1}}{E_{j}} = \dsp\frac{C'・10^{0.852126(j+1)\tau}}{C'・10^{0.852126(j\tau)}}$$

$$= 10^{0.852126\tau}$$

よって、$E_{j}$は、公比 $10^{0.852126\tau}$の等比数列である。 $N=100$、 $\lambda =1.01$の時、 $\tau=0.010100$になり公比の値を計算すると、 公比が$1.02001>1$となり、

$$\lim_{j→\infty}E_{j}=\infty$$

となる。つまり、時間が経つにつれ$E_{j}$の値は大きくなり 無限時間経つと $\infty$ に発散する。

4.2のまとめ

$\lambda$の値を変えてみた時の変化を表にしてみる。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hli... ... 13.178307\ \ & 1.439260 & \infty に発散 \\ \hline \end{array}$$

傾きは、縦軸を $y=\log_{10}{E_{j}}$、横軸を$t=j\tau$とした時のグラフの傾き、 公比は、等比数列$E_{j}$の公比である。 Dirichlet境界条件（問題（A））で、$N=100$,

$$\varphi(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin (5\pi x)\ \ \qquad (0.4<x<0.6)\\ 0 \qquad \qquad \qquad (0.4<x<0.6 \mbox{以外}) \end{array}\right.$$

$$\psi(x) = \ \ 0$$

の結果である。

$0<\lambda<1$のとき、さらに詳しく$\lambda$と公比の関係を調べる (実験式を求める)。
まず、下の表を作った。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \lambda & .. ...137 \\ \hline 0.9 & 0.962921 & 0.037079 \\ \hline \end{array}$$

公比$a$は、ある時刻$t$のエネルギー$E_{t}$と、 ある時刻$t$ から時間を$\tau$ずつ増やし、$t+\tau$, $t+2\tau$, $\dots$, $t+1$になった時のエネルギー$E_{t+1}$の比 $\dsp\frac{E_{t+1}}{E_{t}}$の値である。
公比$a$は、次の計算方法で求めた。

$$=\left( \dsp\frac{E_{j+1}}{E_{j}}\right)^{\dsp\frac{1.0}{\tau}}$$

この表をもとに、次のグラフを書いた。 縦軸に $y=\log_{10}{(1.0-\mbox{公比a})}$、横軸に$x=\lambda$ を 取ったものである。

図 3.7: ほぼ直線

このグラフは、ほぼ直線になり傾きは $\dsp\frac{(-1.154791)-(-0.727570)}{0.7 - 0.4}≒ -1.42$となる。 だから、$\lambda$ と公比aの関係は、$C$を任意定数として

$$\log_{10}(1.0- ) = -1.42\lambda + C$$

$$(1.0- ) = 10^{-1.42\lambda + C}$$

$$= C'・10^{-1.42\lambda} +1.0\qquad ( C'=-10^{C})$$ 公比a

$\lambda =0.5$ の時、公比a=$0.862384$より

$$0.862 ≒ C'・10^{-0.712} +1.0$$

$$C'・10^{-0.712} = -0.137$$

$$C' = -0.137・ 10^{ 0.712}$$

$$C' = -0.709$$

ゆえに、

$$= -0.709・10^{-1.42\lambda} +1.0$$ 公比a

実際、値を代入してみると、だいたい表のとおりになる。
（小数点第２位で、少し値がずれる。）