3.4.3 数値解析（Nの値を変えて）

エネルギー$E_{j}$は、$N$の値とどんな関係があるか, Nの値を変えてみたときのエネルギー$E_{j}$の変化をまとめた表である。 境界条件、初期条件、傾き、公比は上の表で用いたものを採用する。

（a） $\lambda=1.0$としてNの値を変えてみた表である。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert} \hline N & エネルギー \\ ... ...& 12.339473 \\ \hline 100000 & 12.338239\\ \hline \end{array}$$

$N$の値が大きいほど、エネルギーは本来の値に近づく様に近似しているので、 エネルギー$E_{j}$は、$N$の値が小さいと本来の値より大きくなってしまう。

（b） $0<\lambda<1$のサンプルとして、 $\lambda =0.5$を採用し $N$の値を変えた表である。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hli... ...018531 &\ \ 0.999979\ \ &\ \ ０に収束\ \ \\ \hline \end{array}$$

$N$が大きくなるほど、公比は$1$に近づく。その結果、 $N=\infty$とすればエネルギーの保存則が成り立つだろう（結果からの予想）。 しかし、数値解析を行なう時は$N=\infty$と取ることは不可能。 また、 $h=\dsp\frac{1}{N}$なので、$N=\infty$と取ると、 $h=0$となり、分母＝0となる式があるので実用的ではない。

もっと詳しく$N$と公比の関係を調べる。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline N & 公比a &... ... \ \ 1000\ \ &\ \ 0.958869\ \ & 0.041131 \\ \hline \end{array}$$

公比$a$は、ある時刻$t$のエネルギー$E_{t}$と、 ある時刻$t$ から時間を$\tau$ずつ増やし、$t+\tau$, $t+2\tau$, $\dots$, $t+1$になった時のエネルギー$E_{t+1}$の比 $\dsp\frac{E_{t+1}}{E_{t}}$の値である。
公比aは、次の計算で求めた。

$$\mbox{公比$a$} =\left( \dsp\frac{E_{j+1}}{E_{j}}\right)^{\dsp\frac{1.0}{\tau}}$$

この表をもとに、次のグラフを書いた。 縦軸に $y=\log_{10}{(1.0-\mbox{公比a})}$、横軸に$x=N$ を 取ったものである。 (表以外の$N=100$〜$N=300$までの適当な値も取ってグラフを書いた。)

図 3.8: $N$が十分大きいと直線

$x=N=100$に近いところは誤差と考えると、 $N$が十分大きいとき、このグラフは、ほぼ直線となる。 傾きは、 $\dsp\frac{(-1.385835)-(-1.279268)}{1000 - 500}=-0.000213$
より、$N$ と公比aの関係は、$C$を任意定数として

$$\log_{10}(1.0- ) = -0.000213 N + C$$

$$(1.0- ) = 10^{-0.000213 N + C}$$

$$= C'・10^{-0.000213 N} +1.0\qquad ( C'=-10^{C}, \mbox{$N$が大きいところ} )$$ 公比a

$N=1000$ の時、公比a=$0.958869$より

$$0.958869 = C'・10^{-0.213} +1.0$$

$$C'・10^{-0.213} = -0.041131$$

$$C' = -0.041131 ・ 10^{ 0.213}$$

$$C' = -0.06716906$$

ゆえに、

$$= -0.06716906・10^{-0.000213 N} +1.0$$ 公比a

実際、値を代入してみると、だいたい表のとおりになる。

（c）$\lambda>1$のサンプルとして、 $\lambda =1.01$を採用し $N$の値を変えた表である。

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hli... ...549850 &\ \ 1.020083\ \ & \infty に発散 \\ \hline \end{array}$$

$N$が小さいほど、公比は$1$に近づく。その結果、 $N=0$とすればエネルギーの保存則が成り立つだろう（結果からの予想）。 $N=0$では、分割をしないので差分方程式すら作れず全く意味がない。