3.4.2.1 $\lambda =1$のときの解析

（a）$\lambda =1$の時
$E_{j+1}$を、解析的に計算してみる。 まず、（２）,（３）(（５）,（６）でも同じ) を用いて、

$$v_{i,j+1}^2 + w_{i,j+1}^2 = \frac{1}{4}\{ (v_{i+1,j}+v_{i-1,j})^2 +2\lambda (v_{i+1,j}+v_{i-1,j})(w_{i+1,j}-w_{i-1,j}) +\lambda^2(w_{i+1,j}-w_{i-1,j})^2 \}$$

$$+ \frac{1}{4}\{ \lambda^2(v_{i+1,j}-v_{i-1,j})^2 +2\lambda (v_{i+1,j}-v_{i-1,j})(w_{i+1,j}+w_{i-1,j}) +(w_{i+1,j}+w_{i-1,j})^2 \}$$

$$= \frac{1}{4}\{ (1+\lambda ^2)(v_{i+1,j}^2+v_{i-1,j}^2) +(1+\lambda^2)(w_{i+1,j}^2+w_{i-1,j}^2) \}$$

$$+ \frac{1}{4}\{ 2(1-\lambda^2)(v_{i+1,j}v_{i-1,j}+w_{i+1,j}w_{i-1,j}) +4\lambda(v_{i+1,j}w_{i+1,j}-v_{i-1,j}w_{i-1,j}) \}.$$

そこで、

$$4\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j+1}^2 + w_{i,j+1}^2) = \sum_{i=1}^{N-1}\{ (1+\lambda^2) (v_{i+1,j}^2+v_{i-1,j}^2+w_{i+1,j}^2+w_{i-1,j}^2) \}$$

$$+ \sum_{i=1}^{N-1}\{ 2(1-\lambda^2) (v_{i+1,j}v_{i-1,j}+w_{i+1,j}w_{i-1,j}) +4\lambda(v_{i+1,j}w_{i+1,j}-v_{i-1,j}w_{i-1,j}) \}$$

$$= (1+\lambda^2)(v_{0,j}^2+v_{1,j}^2+v_{N-1,j}^2+v_{N,j}^2 +w_{0,j}^2+w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2+w_{N,j}^2)$$

$$+ 2(1+\lambda^2)\sum_{i=2}^{N-2}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) \ \ +2(1-\lambda^2)\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i+1,j}v_{i-1,j}+w_{i+1,j}w_{i-1,j})$$

$$+ 4\lambda(v_{N,j}w_{Nj}+v_{N-1,j}w_{N-1,j} -v_{1,j}w_{1,j}-v_{0,j}w_{0,j}).$$

$\lambda =1$を代入して、

$$4\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j+1}^2 + w_{i,j+1}^2) = 2(v_{0,j}^2+v_{1,j}^2+v_{N-1,j}^2+v_{N,j}^2 +w_{0,j}^2+w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2+w_{N,j}^2)$$

$$+ 4\sum_{i=2}^{N-2}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) +4(v_{N,j}w_{Nj}+v_{N-1,j}w_{N-1,j} -v_{1,j}w_{1,j}-v_{0,j}w_{0,j})$$

$$= 4\left( \frac{1}{2}(v_{0,j}^2+v_{N,j}^2+w_{0,j}^2+w_{N,j}^2 -w_{1,j}^2-w_{N-1,j}^2-w_{1,j}^2-w_{N-1,j}^2) \right)$$

$$+ 4\left( \sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) +(v_{N,j}w_{Nj}+v_{N-1,j}w_{N-1,j} -v_{1,j}w_{1,j}-v_{0,j}w_{0,j}) \right)$$

より

$$\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j+1}^2 + w_{i,j+1}^2) = \frac{1}{2}\{ (v_{0,j}^2+v_{N,j}^2+w_{0,j}^2+w_{N,j}^2) -(w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2+w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2)\}$$

$$+ \sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) +(v_{N,j}w_{Nj}+v_{N-1,j}w_{N-1,j} -v_{1,j}w_{1,j}-v_{0,j}w_{0,j})$$

$E_{j+1}$と$E_{j}$差を取り、上の式を代入すると

$$E_{j+1}-E_{j} = \frac{h}{2}\left( \frac{1}{2}(v_{0,j+1}^2+v_{N,j+1}^2 +w_{0,j+1}^2+w_{N,j+1}^2)+\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j+1}^2+w_{i,j+1}^2)\right)$$

$$- \frac{h}{2}\left( \frac{1}{2}(v_{0,j}^2+v_{N,j}^2+w_{0,j}^2+w_{N,j}^2) +\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) \right)$$

$$= \frac{h}{2}\left( \frac{1}{2}\{ (v_{0,j}^2+v_{N,j}^2+w_{0,j}^2+w_{N,j}^2) -(w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2+w_{1,j}^2+w_{N-1,j}^2)\} \right)$$

$$+ \frac{h}{2}(v_{N,j}w_{Nj}+v_{N-1,j}w_{N-1,j} -v_{1,j}w_{1,j}-v_{0,j}w_{0,j})$$

$$= \frac{h}{4}\left( v_{0,j+1}^2+v_{N,j+1}^2+w_{0,j+1}^2 +w_{N,j+1}^2+2(v_{N,j}w_{Nj}-v_{0,j}w_{0,j}) \right)$$

$$- \frac{h}{4}\left( ( v_{1,j}+w_{1,j})^2 + (v_{N-1,j}-w_{N-1,j})^2\right)$$

この式に、問題($A$)の$\lambda =1$の時の離散化した境界条件を代入すると、

$$E_{j+1}-E_{j} = \frac{h}{4}\left(\ \ 0\ \ +\ \ 0\ \ +w_{0,j+1}^2 +w_{N,j+1}^2+2(0-0) \right)$$

$$- \frac{h}{4}\left( ( w_{0,j+1})^2 +(-w_{N,j+1})^2\right)$$

$$\noalign{\vskip 0.2cm} = 0.$$

また、問題($B$)の$\lambda =1$の時離散化した境界条件を代入すると、

$$E_{j+1}-E_{j} = \frac{h}{4}\left( v_{0,j+1}^2+v_{N,j+1}^2+\ \ 0\ \ +\ \ 0\ \ +2(0-0) \right)$$

$$- \frac{h}{4}\left( ( v_{0,j+1})^2 +(v_{N,j+1})^2\right)$$

$$\noalign{\vskip 0.2cm} = 0.$$

また、 $\dsp\frac{\rd }{\rd x}u(0,t)=0$、$u(1,t)=0$、の時 の$\lambda =1$の離散化した境界条件を代入すると、

$$E_{j+1}-E_{j} = \frac{h}{4}\left( v_{0,j+1}^2+\ \ 0\ \ +\ \ 0\ \ +w_{N,j+1}^2+2(0-0) \right)$$

$$- \frac{h}{4}\left( ( v_{0,j+1})^2 +(-w_{N,j+1})^2\right)$$

$$\noalign{\vskip 0.2cm} = 0.$$

ゆえに、いずれの場合も$\lambda =1$の時

$$E_{j+1}=E_{j}$$

となり、エネルギー保存則は成り立つ。