2.3.5.0.1 証明

後述の補題 2.3.4 より、$t=j k$ に対して、

$$\left\vert\frac{\sin\beta_n t}{\sin\beta_n k}\right\vert =\left\vert\frac{\sin\beta_n jk}{\sin\beta_n k}\right\vert \le j$$

となることと、$jk\le T$ により、一様絶対収束することが分かる。 (2.16) は線型同次方程式であり、 差分作用素と $\dsp\sum_{n=1}^\infty$ は交換可能性であるから、 $v$ は (2.16) を満たす。 $v$ が境界条件 (2.17) を満たすことは明らか。 $\sum \vert f_n\vert<\infty$, $\sum \vert g_n\vert<\infty$ が成り立つとき、 $f$ と $g$ の Fourier 級数は一様収束して、 それぞれ $f$, $g$ に等しいことから、 $v$ が初期条件 (2.18) を満たすことが分かる。 $\qedsymbol$

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