2.3.4.2 特別な初期値に対する解

$$L[v]=0, \quad v(0,t)=v(1,t)=0,\quad v(x,0)=f(x), \quad \frac{v(x,k)-v(x,-k)}{2k}=g(x)$$

を考えているわけだが、 $f(x)=\sin n\pi x$, $g(x)=0$ のときは、

$$v(x,t)=\sin n\pi x\cos\beta_n t,$$

$f(x)=0$, $g(x)=\sin n\pi x$ のときは、

$$v(x,t)=\sin n\pi x\frac{k\sin\beta_n t}{\sin \beta_n k}.$$