2.3.4.3 初期値境界値問題の形式解

Fourier 係数

$$f_n=2\int_0^1 f(x)\sin n\pi x\,\Dx, \quad g_n=2\int_0^1 g(x)\sin n\pi x\,\Dx$$

を用いると、

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n \sin n\pi x,\quad g(x)=\sum_{n=1}^\infty g_n \sin n\pi x$$

であるから、

$$v(x,t) =\sum_{n=1}^\infty f_n \sin n\pi x\cos\beta_n t +\sum_{n=1}^\infty g_n \sin n\pi x\frac{k\sin\beta_n t}{\sin\beta_n k}$$

が解になると期待される。