2.3.4.1 $\sin n\pi x b_n(t)$ の形の一般解

$t$ の値を固定するごとに、$v(x,t)$ を $x$ の関数として、 $\sin n\pi x$ で展開できる。つまり

$$v(x,t)=\sum_{n=1} b_n(t)\sin n\pi x$$

と表わすことができる。 そして任意の $n\in\N$ について、 $v(x,t)=b_n(t)\sin n\pi x$ 自身が 差分方程式 $L[v]=0$ を満たさなければならない。 実際に $L[v]=0$ に代入すると

$$b_n(t+k)-2b_n(t)-b_n(t-k)=\lambda\left[-4\sin^2\frac{n\pi h}{2}\right]b_n(t)$$ (2.17)

が得られる。

これは $n$ をパラメーターにもつ、2階の線型差分方程式である。

一般解を求めるには、 $b_n(t)=e^{i\beta t}$ とおいて代入すればよい。

$$e^{i\beta (t+k)-2e^{i\beta t}+e^{i\beta(t-k)}} = -4\sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right)e^{i\beta t}.$$

これから

$$\sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right) =\lambda^2\sin^2\left(\frac{n\pi h}{2}\right).$$ (2.18)

$\vert\lambda\vert\le 1$ とするとき、右辺は 0 以上 $1$ 以下の数となるので、 この方程式の解 $\beta$ は実数となる。 最小の正の解 $\beta$ を $\beta_n$ と書こう。 すると他の $\beta$ については、

$$\exists\ell\in\Z$$   s.t.$$\quad \frac{\beta k}{2}=\pm\frac{\beta_n k}{2}+\ell\pi.$$

すると、 $e^{i\beta k}$ の値としては

$$e^{\pm i\beta_n k}$$

の二通りしかない。

(2.19) の一般解は

$$b_n(t) = C_1 e^{i\beta_n t}+C_2 e^{-i\beta_n t} \mbox{($C_1$, $C_2$\ は任意定数)}$$

$$= (A \cos\beta_n t+B \sin\beta_n t) \mbox{($A$, $B$\ は任意定数)} .$$

ゆえに $L[v]=0$ の、 $v(x,t)=b_n\sin n\pi x$ の形をした解は

$$v(x,t)=\sin n\pi x(A\cos\beta_n t+B\sin\beta_n t)$$   $$\mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$$$.$$