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2.2.3 形式解が well-defined であり、厳密解に収束すること

(準備中 -- とりあえず、引用した。)

差分解 $ v(x,t)$ が厳密解 $ u(x,t)$ に収束することを証明する。

$\displaystyle u(x,t)
=\frac{1}{\sqrt 2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha x}
...
...t\hat{f}(\alpha)
+k\frac{\sin \alpha t}{\alpha}\hat{g}(\alpha)
\right)d\alpha.
$

いま、 $ \dsp\int \vert\hat{f}\vert\D\alpha$ $ \dsp\int
\vert\hat{g}\vert\D\alpha$ は収束するので、十分大きな $ A$ を選んで、

$\displaystyle \left\vert\int_A^{\infty} e^{i\alpha x}
\left(
\cos \beta t\hat{f...
...in \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)d\alpha
\right\vert \leq \eps,
$

$\displaystyle \left\vert
\int_{-\infty}^{-A} e^{i\alpha x}
\left(
\cos \beta t\...
...in \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert \leq \eps
$

が成り立つようにできる。 その上で、$ h$, $ k$ を小さくとり、

$\displaystyle \left\vert
\int_{-A}^A e^{i\alpha x}\left(\cos\alpha t\hat{f}(\al...
...\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert\leq\eps
$

とできる。 補題1.1, 1.2, 1.3 と以上の事より、
  $\displaystyle {\vert u(x,t)-v(x,t)\vert}$
      $\displaystyle =
\left\vert\int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha x}
\left(\cos \alpha...
...
+k\frac{\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert$
      $\displaystyle \leq
\left\vert
\int_{-\infty}^{-A} e^{i\alpha x}
\left(\cos \alp...
...lpha)
+k\frac{\sin \alpha t}{\alpha}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert$
      $\displaystyle +
\left\vert
\int_A^{\infty} e^{i\alpha x}
\left(
\cos \alpha t\h...
...
+k\frac{\sin \beta t}{\sin \beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert$
      $\displaystyle +
\left\vert
\int_{-A}^Ae^{i\alpha x}
\left(\cos \beta t\hat{f}(\...
...)
+k\frac{\sin \beta t}{\sin\beta k}\hat{g}(\alpha)
\right)\D\alpha
\right\vert$
      $\displaystyle \leq 5\eps.$

よって、差分解が厳密解に収束することが証明できた。


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Masashi Katsurada
平成14年11月29日