2.2.2.4 初期値問題の形式解

Fourier 変換

$$\widehat f(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x) e^{-i\alpha... ...uad \widehat g(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R g(x) e^{-i\alpha x}\,\Dx,$$

を用いると

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \widehat f(\alpha) e^{i\alpha x... ... g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \widehat g(\alpha) e^{i\alpha x}\,\D\alpha,$$

となるので、解の候補として

$$v(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{i\alpha x} \left( \cos\be... ...ac{\sin\beta_\alpha t}{\sin\beta_\alpha k}\widehat g(\alpha)\right) \,\D\alpha,$$ (2.9)

が考えられる。