4.4.2 Sylvester の慣性律による説明

線形代数でおなじみの Sylvester の慣性律「行列の符号数は座標 変換で変化しない」を復習しよう。正則行列 $M$ に対して

$$\begin{eqnarray*} \pi(M)&=&\mbox{$M$\ の固有値のうち正のものの個数} \\ \zeta(... ...のの個数} \\ \nu(M)&=&\mbox{$M$\ の固有値のうち負のものの個数} \end{eqnarray*}$$

とおく。

与えられた $\sigma\in\R$ に対して、$A-\sigma I$ を LDL 分解する、すなわ ち

$$A-\sigma I= L D L^T$$

ただし $L$ は下三角行列、$D$ は対角行列とする:

$$L=\left( \begin{array}{cccccccc} \ast & 0 & 0 & & & \bigz... ... \\ & & \ddots& \\ \bigzerol& & & d_N \end{array} \right)$$

このとき定理から

$$\pi(A-\sigma I)=\pi(D), \quad \zeta(A-\sigma I)=\zeta(D), \quad \nu(A-\sigma I)=\nu(D)$$

であるが、$\pi(D)$, $\zeta(D)$, $\nu(D)$ はすぐに分かる。従って、 行列 $A$ の固有値について、任意に与えられた実数 $\sigma$ よりも大きい もの、小さいものの個数が勘定できることになる。