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4.4.1 伝統的な説明


\begin{displaymath}
T=\left(
\begin{array}{ccccc}
a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou...
...{N-1} \\
\bigzerol & & 0 & b_{N-1} & a_N
\end{array} \right)
\end{displaymath}

を実対称三重対角行列とする。

$b_k\ne 0$ ( $k=1,2,\cdots,N-1$) と仮定する。もしある $k$ に対して $b_k\ne 0$ ならば

\begin{displaymath}
T = \left(\begin{array}{cc}T' & O \\ O & T''\end{array}\right)
\end{displaymath}

となり、$T'$, $T''$ の固有値を求める問題に帰着できるから、一般性は失 わない。

$p_k(\lambda)$$\lambda I-T$ の第 $k$ 主座行列式とする ( $k=0,1,\cdots,N$)。すなわち

\begin{displaymath}
p_k(\lambda)\DefEq
\left\{
\begin{array}{ll}
\det(\lambd...
...=1,2,\cdots,N$)}\\
1 &\mbox{($k=0$)}
\end{array} \right.
.
\end{displaymath}

ただし、

\begin{displaymath}
I_k=\mbox{$k$\ 次の単位行列},\quad
T_k=\left(
\begin{arra...
...k-1} \\
\bigzerol & & 0 & b_{k-1} & a_k
\end{array} \right).
\end{displaymath}

すぐ分かることは、

\begin{jlemma}\upshape
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rcl}
p_0(\la...
...ambda) & = & \det(\lambda I-T)
\end{array}\right.
\end{displaymath}\end{jlemma}


\begin{jlemma}
% latex2html id marker 1676
\upshape
$\{p_k(\lambda)\}_{k=0,1,\c...
...ambda_0)p_{k+1}(\lambda_0)<0$
($k=1,2,\cdots,N-1$).
\end{enumerate}\end{jlemma}



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Masashi Katsurada
平成17年6月2日