4.3.2 Lanczos(ランチョス)法

実対称行列 $A$ が直交行列 $P$ で三重対角化されたとする:

$$B=P^{-1}A P = \left( \begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \bet... ... \bigzerol& & 0 & \beta_{N-1} & \alpha_N \end{array} \right).$$

つまり $A P=P B$ であるが、 $P=(u_1 u_2 \cdots u_N)$ とおくと、

$$A (u_1 u_2 \cdots u_N) = (u_1 u_2 \cdots u_N) \left( \beg... ... \bigzerol& & 0 & \beta_{N-1} & \alpha_N \end{array} \right)$$

となるから

$$\begin{eqnarray*} A u_1 &=& \alpha_1 u_1 + \beta_1 u_2 \\ A u_2 &=& \beta_1 u... ...u_i \\ \cdots \\ A u_N &=& \beta_{N-1}u_{N-1} + \alpha_N u_N \end{eqnarray*}$$

第 $k$ 行と $u_k$ の内積を作ると

$$\alpha_k = {u_k}^T A u_k$$ (4.1)

また

$$v_{k+1}\Def A u_k - (\beta_k u_{k-1}+\alpha_k u_k)$$ (4.2)

とおくと、 $v_{k+1}=\beta_k u_{k+1}$, $\Vert u_{k+1}\Vert$ であるから、

$$\beta_k = \Vert v_{k+1}\Vert$$ (4.3)

$$u_{k+1} = \frac{v_{k+1}}{\beta_k}$$ (4.4)