4.2.6 シフト法

既に得られている近似固有値の精度を改良したい、あるいは、ある指定した 値に最も近い固有値を求める方法である。

行列 $A$ の固有値 $\lambda_i$ に対する近似固有値 $\lambda_i'$ が分かっ ているとしよう。この時、

$$A' = A - \lambda_i' I$$

の固有値は

$$\lambda_1-\lambda_i', \lambda_2-\lambda_i', \cdots, \lambda_n-\lambda_i'$$

となる。$\lambda_i'$ は $\lambda_i$ の近似値ということで、絶対値が最小 なのは $\lambda_i-\lambda_i'$ であると期待できる。よって、$A'$ に対し て逆反復法を適用すれば、この値(それを $\Delta\lambda$ とおこう)が高精 度に計算できる。こうして

$$\lambda_i := \lambda_i' + \Delta\lambda$$

により $\lambda_i$ が求まる。

$$A'= \left( \begin{array}{ccccc} 4& 1& & & \bigzerou \\ ... ...\\ & & 1& 4& 1 \\ \bigzerol& & & 1& 4 \end{array}\right).$$