next up previous contents
Next: 4.2.4.0.1 証明 Up: 4.2 解法についての概観 Previous: 4.2.3.0.1 大雑把な説明

4.2.4 固有ベクトルから固有値を求める方法

誤差がなければ、 $A x=\lambda x$ の適当な($x_i\ne 0$ となる $i$ に 対する)成分に対応する方程式

\begin{displaymath} \sum_{j=1}^n a_{i j}x_j = \lambda x_i \end{displaymath}

の両辺を $x_i$ で割れば $\lambda$ が求まるが、$x$ が近似的な固有ベクト ルでしかない場合には、以下に解説する Rayleigh 商を用いる方法の方が良い。


\begin{jdefinition}[Rayleigh商]\upshape $N$\ 次正方行列 $A$\ と、$x\in\C^N$\ に... ...(Ax,x)}{(x,x)} \end{displaymath}を\textbf{Rayleigh 商}という。 \end{jdefinition}

$x$ を $A$ の近似固有ベクトルとする時、Rayleigh 商

\begin{displaymath} \lambda'=\frac{\left(A x, x\right)}{(x,x)} \end{displaymath}

は $x$ に対応する固有値の良い近似になる。粗く言って

\begin{displaymath} \hbox{固有値の誤差} = O(\hbox{固有ベクトルの誤差}^2). \end{displaymath}


\begin{jproposition}\upshape $A$\ が正規行列 ($A A^\ast=A^\ast A$) で、その固有... ...1\Vert^2\le (\eps/\delta)^2+(\eps/\delta)^4. \end{displaymath}\end{jproposition}

next up previous contents
Next: 4.2.4.0.1 証明 Up: 4.2 解法についての概観 Previous: 4.2.3.0.1 大雑把な説明
Masashi Katsurada
平成17年6月2日