4.1.1 問題の定式化

いま $A$ を $N$ 次正方行列とする。この時

$$A x = \lambda x, \quad x\ne 0$$

を満たす $\lambda\in\C$ を $A$ の固有値 (eigenvalue), $x \in \C^N \setminus \{0\}$ を $A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有ベク トル (eigenvector) と呼ぶ。

固有値問題 -- 固有値、固有ベクトルを求める問題 -- は非線形 問題であり、有限回の四則演算では解けない ($N\ge 5$ のときは巾根を求める 操作を用いても解けない)。これを解くには、何らかの意味での反復法が必要で ある。

これに類似した問題に、一般化固有値問題と特異値問題がある。 ここでは名前をあげておくだけにとどめるが、将来問題に出会った時に、固有 値問題の親戚であると気がつけば良い。いずれの問題も、固有値問題のアルゴ リズムを修正したもので解くことが出来る。