A.2.0.0.1 証明

まず $f_\ell(x)\equiv \mbox{定数}$ であるから、Strum 列の条件 (3) は満 たされている。次にある $x_0\in [a,b]$, ある $k\in\{0,1,\cdots,\ell-1\}$ に対して

$$f_{k}(x_0)=f_{k+1}(x_0)=0$$

となったとすると、式 (A.5) から $f_{k+2}(x_0)$ 以降の $f_j(x_0)$ もすべて $0$ になり、特に $f_\ell(x_0)=0$. これは $f_\ell(x)$ が定数関数 ($\ne 0$) であることに矛盾する。ゆえに Strum 列の条件 (1) が 満たされる。 次にある点 $x_0$, ある $k\in\{1,2,\cdots,\ell-1\}$ に 対して $f_k(x_0)=0$ となったとすると、式 (A.5) から

$$f_{k-1}(x_0)=-f_{k+1}(x_0).$$ (A.3)

ゆえに Strum 列の条件 (2) も満たされる (条件 (3) から上式の値は $0$ にな らないことに注意)。 最後に $x_0$ が $f(x)$ の根であるとき、$f(x)$ が重根を持たないという 仮定から $f'(x_0)\ne 0$ で、

$$f'(x_0)f_1(x_0)=f'(x_0)^2>0$$

となり、条件 (4) も満たされる。